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Konvergenz Funktionenfolge (n-Wurzel von e ) * e^x

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen, gleichmäßige Konvergenz, Wurzel

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TrueWeeb23

TrueWeeb23 aktiv_icon

20:11 Uhr, 02.02.2022

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Also meine Frage ist ob meine Beweisskizze richtig ist, ich habe sie als Bild angefügt?
Es ist eine alte Klausuraufgabe und ich bin mir unsicher. Der Beweis ist sehr skizzenhaft gehalten, ich nehme aber gerne jeden Tipp. Ich hoffe, dass meine Argumentation trotzdem klar wird.

SCAN0004

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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ledum

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22:08 Uhr, 02.02.2022

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Hallo
deine letzte Zeile ist sehr falsch

| \sqrt[n]{e} \cdot e^{n} - e^{n} | = e^{n} | \sqrt[n]{e} - 1 |

nicht was du schreibst
ausserdem ist

x = n

nicht möglich du willst ja

n \to \infty

aber Konvergenz für alle

x

(e^a*e^b≠e^(a*b) so hast du aber anscheinend gerechnet?)
Gruß ledum

TrueWeeb23

TrueWeeb23 aktiv_icon

22:14 Uhr, 02.02.2022

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ja stimmt das macht wirklich keinen Sinn. Danke. Könnte man die Gleichmäßige konvergenz so beweisen, dass man egal wie man

n

wählt einfach ein

x

finden kann für das

e^{x} \cdot | \sqrt{n} (e) - 1) |

nicht kleiner als das Epsilon ist?

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:35 Uhr, 02.02.2022

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Die Frage ist, auf welcher Menge untersuchst du die gleichmäßige Konvergenz?
Wenn es auf ganz

ℝ

ist, dann ist die Konvergenz nicht gleichmäßig und du hattest sogar die richtige Beweisidee dafür.
Sauber wäre so.
Für

ε = 1

(es passt eigentlich ein beliebiges

ε > 0

) gilt:
für jedes

n > 1

existiert ein

x

, nämlich

x = n

,
so dass

∣ \sqrt[n]{e} \cdot e^{x} - e^{x} ∣ = e^{n} (\sqrt[n]{e} - 1) = e^{n} (e^{1 / n} - 1) > e^{n} \frac{1}{n} \geq 1 = ε

.
Also ist konvergenz nicht gleichmäßig auf

ℝ

oder auch nur auf

[0, \infty)

(analog kann man zeigen, dass sie auf keiner unbeschränkter Menge gleichmäßig ist).

Frage beantwortet

TrueWeeb23

TrueWeeb23 aktiv_icon

22:40 Uhr, 02.02.2022

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Ja, danke es ist eine Altklausur Aufgabe und da es ein Gedächtnisprotokoll ist wurde die Menge nicht angegeben. Es kann gut sein, dass es auf ganz

R

oder den nicht negativen reelen Zahlen war. Vielen Dank an euch beide!

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