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Konvergenz einer Summe, Quotientenkriterium

Universität / Fachhochschule

Tags: Konvergenz, Quotientenkriterium, Summe

He-Man84 aktiv_icon

20:03 Uhr, 08.04.2018

Hallo,

Ich habe eine Frage zu der Konvergenz einer Folge. Meine bisherigen Rechenschritte habe ich als Bild angehangen. Ich habe Konvergenzkriterien nie gelernt und versuche mir das selbst beizubringen aus Neugierde. Als Konvergenzkriterium habe ich das Quotientenkriterium gewählt. Ich weiß das der Grenzwert nicht 1 werden darf, da sonst dieses Kriterium versagt.

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:05 Uhr, 08.04.2018

Ich erkenne das der Nenner immer größer ist als der Zähler, aber ich glaube das reicht noch nicht um auf Konvergenz zu schließen, da ich vermute das es auch etwas mit "Schnelligkeit" zu tun hat mit der der Quotient kleiner wird.

rundblick aktiv_icon

20:38 Uhr, 08.04.2018

.
" Meine bisherigen Rechenschritte habe ich als Bild angehangen."

Vorschlag:

\to

schlag mal nach, wie das Quotientenkriterium RICHTIG aussieht..
.

Respon

20:45 Uhr, 08.04.2018

lim_{n \to \infty} \frac{{[ln (n)]}^{n}}{{[ln (n + 1)]}^{n + 1}} = 0

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20:47 Uhr, 08.04.2018

Ist das richtig nachgeschlagen?

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20:49 Uhr, 08.04.2018

Respon, das sagt mir Mathematica auch, aber eine Begründung ausser das der Nenner kleiner ist als der Zähler wäre hilfreich

Respon

20:53 Uhr, 08.04.2018

lim_{n \to \infty} {[\frac{ln (n)}{ln (n + 1)}]}^{n} = 1

lim_{n \to \infty} \frac{1}{ln (n + 1)} = 0

\Rightarrow . .

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21:03 Uhr, 08.04.2018

Danke Respon, Potenzgesetz und einzeln berechnet deswegen Produkt wird 0. Das heißt das die Reihe (absolut) konvergiert?

Respon

21:08 Uhr, 08.04.2018

Die Reihe konvergiert.

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21:11 Uhr, 08.04.2018

Ist das so korrekt?

Respon

21:13 Uhr, 08.04.2018

Was bedeutet das ?

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21:15 Uhr, 08.04.2018

Das ist ein Copy and Paste Fehler, da steht ein Mal

Respon

21:18 Uhr, 08.04.2018

Viel Redundanz, ließe sich kürzer schreiben.

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21:20 Uhr, 08.04.2018

Danke, aber ich lerne das selbst noch und brauche die Zwischenschritte, aber natürlich würde ich mich freuen, wenn du die überflüssigen Schritte ankreiden könntest.

Respon

21:27 Uhr, 08.04.2018

\sum_{n \to \infty} \frac{1}{{[ln (n)]}^{n}}

z . B

lim_{n \to \infty} \frac{{[ln (n)]}^{n}}{{[ln (n + 1)]}^{n + 1}} = lim_{n \to \infty} {[\frac{ln (n)}{ln (n + 1)}]}^{n} \cdot \frac{1}{ln (n + 1)} = lim_{n \to \infty} {[\frac{ln (n)}{ln (n + 1)}]}^{n} \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1}{ln (n + 1)} = . .

ledum aktiv_icon

21:31 Uhr, 08.04.2018

Hallo
enmal hast du im Nenner ein

+

das ist falsch danach direkt wieder das ursprüngliche, und dann das Produkt aus

{(ln (n + 1))}^{n} \cdot ln (n + 1)

danach direkt zu letzten Schritt gehen.
Gruß ledum

He-Man84 aktiv_icon

21:32 Uhr, 08.04.2018

Danke, das Plus war ein Tippfehler, wie ic hoben angemerkt habe. Danke für den Hinweis! Ich hätte noch eine Frage und zwar gibt es eine Möglichkeit wie man den Wert berechnen kann zu dem die Reihe konvergiert?

ledum aktiv_icon

22:44 Uhr, 08.04.2018

Hallo
den gibt es fast sicher nicht, da schon die Summanden transzendente Zahlen sind.
Gruß ledum

He-Man84 aktiv_icon

23:13 Uhr, 08.04.2018

Danke Sie haben mir sehr geholfen!

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