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Konvergenzuntersuchung - Kriterien

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Konvergenz, Kriterium, Reihen, Summe, Wurzelkriterium

Anne-Anne aktiv_icon

19:20 Uhr, 22.11.2009

Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen und dabei ein bestimmtes Kriterium verwenden (Leibnitz, Nullfolge, Quotienenkrietrium, Wurzelkriterium...???)
gegeben:

Summe von

n = 1

bis unendlich (Bruch)
Wurzel

(n + 1)

-minus Wurzel (n)

durch

(n^{r})

meine Vermutung ist, dass ich das Wurzelkriterium anwenden muss....aber wie???
(wenn die Idee überhaupt stimmt)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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19:29 Uhr, 22.11.2009

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{n^{r}}

ist das die Aufgabe ?

Anne-Anne aktiv_icon

19:43 Uhr, 22.11.2009

nee, also...
da sind halt noch die Wuezeln drum...
das mit der Summe stimmt schon.
im Zähler steht: Wurzel

(n + 1)

minus Wurzel (n)

im Nenner steht:

n

hoch

r

...also so ähnlich wie deine

...also quasi ja...das is die ...so in etwa ;-)

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19:46 Uhr, 22.11.2009

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{(n + 1) - \sqrt{n}}}{n^{r}}

so ?

Anne-Anne aktiv_icon

19:50 Uhr, 22.11.2009

Na nee...kommt drauf an wie du das meinst.
die Klammern sind jeweils Wurzeln und das is nen Bruch.
Das

n^{r}

ist im Nenner.^^

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19:59 Uhr, 22.11.2009

ich habe keine Ahnung mehr ! schau dir das Bild an mag sein dein Browser zeigt nicht alles

Anne-Anne aktiv_icon

20:19 Uhr, 22.11.2009

Ja genau das is das Ding

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20:23 Uhr, 22.11.2009

also doch die erste Variante

Anne-Anne aktiv_icon

20:25 Uhr, 22.11.2009

ja, sorry...
das sah so komisch aus...ohen Wurzeln und Brüche

\land

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20:40 Uhr, 22.11.2009

dann würde ich für die Aufgabe das Majorantenkriterium empfehlen

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{n^{r}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{n^{r}} \cdot \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =

= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1 - n}{n^{r} \cdot (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{r} \cdot (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{r}}

\to

konvergiert für alle

r > 1

Anne-Anne aktiv_icon

20:48 Uhr, 22.11.2009

danke für deine Hilfe...
ich "rechne" es mal durch.

Klingt auf jeden Fall net schlecht...mit dem Major...

bin mir nur ent ganz sicher wo genau Bruch ist und wo genau Wurzel

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20:53 Uhr, 22.11.2009

falls du immer noch nichts siehst

\to

bild dazu

Anne-Anne aktiv_icon

20:56 Uhr, 22.11.2009

Hey supi...jetzt ist es richtig logisch...
schönen Sonntag Abend noch

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21:01 Uhr, 22.11.2009

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