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Kreis des Apollonius

Schüler Gymnasium,

Tags: Komplexe Zahlen, Kreis des Apollonius

anonymous

16:30 Uhr, 10.04.2013

Hallo!
Ich muss nächste Woche ein Kurzreferat über den Kreis des Apollonius aus dem Themengebiet der Komplexen Zahlen halten und natürlich Grundlegendes der Klasse erklären. Leider versteh ich das selber nicht so ganz, weil ich zig verschiedene Ansätze im Internet gefunden habe und unser Lehrbuch leider nur 3 Aufgaben zu diesem Thema aufweisen kann, die mich nur noch mehr verwirren.
Sie lauten:

a)Gesucht ist die Menge aller Punkte

z

der Zahlenebene, für die das Verhältnis ihrer Abstände von den festen Punkten

a = 3

und

b = - 3

den festen Wert

2 : 1

hat. Erläutere, dass diese Punktmenge wie folgt geschrieben werden kann:

{z | \frac{| z - 3 |}{| z + 3 |} = 2}

b)

Forme die Gleichung

\frac{| z - 3 |}{| z + 3 |} = 2

äquivalent um in zz*+5z+5z*+9=0!

c)

Zeige, dass die Punktmenge auch in der Form

{z | | z + 5 | = 4}

geschrieben werden kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

prodomo aktiv_icon

18:28 Uhr, 10.04.2013

Hallo, eine Landsfrau, kommt hier eher selten vor.

a)

ist einfach der Text als Gleichung umgesetzt

b)

ist eine Kreisgleichung in der komplexen Ebene

c)

ist dieselbe Gleichung in der mit der Vektorrechnung verwandten Form. Dort wäre sie

{(\vec{x} - (\begin{matrix} - 5 \\ 0 \end{matrix}))}^{2} = 16

b)

Für Beträge gilt

| z | = \sqrt{z \cdot \bar{z}}

. Das kannst du auf beide Beträge anwenden.
Also

| z - 3 | = \sqrt{(z - 3) \cdot (\bar{z} - 3)}

. z"Stern" ist schwer darzustellen, ich benutze daher

\bar{z}

\sqrt{(z - 3) \cdot (\bar{z} - 3)} = 2 \cdot \sqrt{(z + 3) \cdot (\bar{z} + 3)}

. Quadrieren und zusammenfassen gibt

3 \cdot z \cdot \bar{z} + 15 \cdot z + 15 \cdot \bar{z} + 27 = 0

. Jetzt noch durch 3 teilen.

z \cdot \bar{z} + 5 \cdot z + 5 \cdot \bar{z} + 9 = 0

kannst du schreiben als

(z + 5) \cdot (\bar{z} + 5) = 16

. Die Kreisgleichung im Komplexen heißt

(z - m) \cdot (\bar{z} - \bar{m}) = r^{2}

. Also liest du

m = - 5

und

\bar{m} = - 5

ab, weil die konjugierte zu einer reellen Zahl wie

- 5

sie selbst ist.
Es gibt im Komplexen die Möglichkeit, Apolloniuskreise als Bilder von Kreisen bzw. Geraden bei linearen Transformationen zu nutzen und sie als eine Art Koordinatensystem zu verwenden. Soll das Referat dahin führen ?

anonymous

19:17 Uhr, 11.04.2013

Super, vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen ;-)

summsebienchen aktiv_icon

15:44 Uhr, 12.04.2013

Obwohl, eine Frage hätte ich noch: Bei der Betragsform der Kreisgleichung - wie kommt man da auf den Radius? Ich bekomm ihn einfach nicht ausgerechnet... Ich hab zwar eine Formel dafür gefunden, aber mein Lehrer hat das heute irgendwie ganz schnell im Kopf ausgerechnet. :-D)

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