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Kritische Punkte einer mehrdimensionalen Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Extrema, Funktion, Kritische Punkte, Kritischer Punkt, Maximum, mehrdimensionale Analysis, mehrere Veränderliche, Minimum

KTest00 aktiv_icon

20:11 Uhr, 19.06.2018

Hallo,

ich habe die Funktion

f (x, y) = x^{6} + 2 x^{4} - 8 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}

und soll alle kritischen Punkte berechnen und klassifizieren.

Ich habe auch alle kritischen Punkte berechnet und vier der fünf Punkte auch klassifizieren können (als Minimum).

Jedoch ist

(0, 0)

auch ein kritischer Punkt. Über das Kriterium mit der Hesse-Matrix komme ich hier nicht weiter, da diese gleich 0 ist. Mir ist nun nicht klar, wie ich diesen Punkt weiter klassifizieren kann. Mit der Definition für lokales Minimum / Maximum komme ich hier auch nicht wirklich weiter, da ich die Ungleichung nicht passend bekomme.

Danke im Voraus!

VG KTest00

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte

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DerDepp aktiv_icon

00:49 Uhr, 20.06.2018

Hossa ;-)

Ich würde mit der Symmetrie argumentieren. Die Funktion

f (x, y)

ist achsensymmetrisch bzgl. beider Koordinatenachsen. Daher ist klar, dass die 4 kritischen Punkte, die du bereits klassifizieren konntest, alle vom gleichen Typ sind. Genau wie bei einer 1-dim. Funktion keine 2 benachbarten Minima existieren können (zwischen Ihnen muss ein Maximum liegen), kann es in einem "Gebirge" (2-dim. Funktion) keine 2 Täler ohne Berg dazwischen geben. Bei (0,0) muss ein Maximum vorliegen.

Respon

07:03 Uhr, 20.06.2018

(0 | 0 | 0)

ist ein Sattelpunkt.

KTest00 aktiv_icon

09:22 Uhr, 20.06.2018

@DerDepp

Danke schonmal für deine Antwort! :-)

Allerdings sagt z.B. WolframAlpha, dass (0,0) kein Maximum, sondern ein Sattelpunkt ist (wie Respon schon angemerkt hat).

Mir ist aber nicht klar, wie ich das beweisen kann.
Hätte jemand hierfür vielleicht eine Idee?
In der Vorlesung wurde etwas über Taylor-Polynome gesagt für solche Fälle, wobei ich nicht weiß, ob dies hier hilfreich ist bzw. wie ich dies anwenden sollte.

Danke im Voraus für weitere Hilfen! :-)

VG KTest00

Bummerang

12:49 Uhr, 20.06.2018

Hallo,

f (x; y) = x^{6} + 2 \cdot x^{4} - 8 \cdot x^{2} \cdot y^{2} + 2 \cdot y^{4} = x^{6} + 2 \cdot {(x^{2} - y^{2})}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot y^{2}

Betrachte die Funktionswerte entlang der Linie

x = y

. Dort gilt natürlich

x^{2} - y^{2} = 0

und der mittlere Summand entfällt und unter der Gleichheit von

y = x

folgt, dass auf dieser Linie gilt:

f (x; y) = x^{6} - 4 \cdot x^{2} \cdot x^{2} = x^{6} - 4 \cdot x^{4} = (x^{2} - 4) \cdot x^{4}

Offentsichtlich liegen damit in jeder Umgebung um

(0; 0)

auf dieser Linie negative Funktionswerte, wenn die Umgebung hinreichend klein ist, also

x^{2} - 4 < 0

x^{2} < 4

| x | < 2

also in jeder epsilon-Umgebung um

(0; 0)

mit

ε < 2

.

Jetzt betrachten wir die Punkte entlang der Linie

y = \frac{1}{2} \cdot x

. Dann ergibt sicxh effektiv:

f (x; y) = x^{6} + 2 \cdot {(x^{2} - {(\frac{1}{2} \cdot x)}^{2})}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot {(\frac{1}{2} \cdot x)}^{2}

f (x; y) = x^{6} + 2 \cdot {(x^{2} - \frac{1}{4} \cdot x^{2})}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{2}

f (x; y) = x^{6} + 2 \cdot {(\frac{3}{4} \cdot x^{2})}^{2} - x^{4}

f (x; y) = x^{6} + 2 \cdot \frac{9}{16} \cdot x^{4} - x^{4}

f (x; y) = x^{6} + \frac{9}{8} \cdot x^{4} - x^{4}

f (x; y) = x^{6} + \frac{1}{8} \cdot x^{4}

Entlang dieser Geraden sind ALLE Werte, die nicht im Ursprung liegen positiv, also auch in jeder

ε

Umgebung mit

ε < 2

.

Damit finden wir in jeder noch so kleinen epsilon-Umgebung mit

ε < 2

sowohl positive als auch negative Werte. Damit hat man einen Sattelpunkt.

KTest00 aktiv_icon

18:56 Uhr, 20.06.2018

Vielen Dank :-)

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