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Kubische Gleichung und Cardanische Formel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ich benötige den Lösungsweg, Lösung

anonymous

16:02 Uhr, 08.03.2023

Ich brauche Hilfe zu einer bestimmten Formel, ich habe die kubische Gleichung

f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24

und bräuchte den Lösungsweg mit der Cardanischen Formel da ich am verzweifeln bin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

HAL9000

16:08 Uhr, 08.03.2023

Muss es unbedingt Cardano sein? Wenn man mutmaßt, dass

f (x) = 2 (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12)

rationale Nullstellen besitzt, dann sind die notwendig auch ganzzahlig sowie Teiler des Absolutgliedes 12. Allzu viel gibt es da nicht zu probieren, und bei

x = 2

wird man bereits fündig.

anonymous

16:14 Uhr, 08.03.2023

Ja es muss die Cardanische Formel sein

calc007

16:30 Uhr, 08.03.2023

Hallo
Dann müsstest du besser zu verstehen geben, welcher Form die Hilfe sein soll.
Die Cardanischen Formeln sind in dutzenden Büchern, Internet-Threads und Artikeln bestens beschrieben.

z . B . :

de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Ich / wir täten uns schwer, es besser zu machen, wenn wir nicht wissen, was du darüber hinaus noch erwartest.

HAL9000

16:31 Uhr, 08.03.2023

Na wenn es sein muss: Zunächst entfernt man das quadratische Glied durch Substitution

x = y + 1

, man erhält

y^{3} - 7 y + 6 = 0

, also Normalform

y^{3} + p y + q = 0

mit

p = - 7

und

q = 6

Nun Diskriminante berechnen

D = {(\frac{p}{3})}^{2} + {(\frac{q}{2})}^{2} = - \frac{343}{27} + 9 = - \frac{100}{27} < 0

, d.h. wir sind im Casus irreducibilis (3 reelle Lösungen).

Die drei Lösungen bekommt man durch

y_{k} = r \cdot \cos (\frac{φ + 2 k π}{3})

für

k = 0, 1, 2

,

wobei

r = \sqrt{- \frac{4}{3} p} = \frac{2}{3} \sqrt{21}

und

φ = \arccos (- \frac{9}{49} \sqrt{21})

ist.

Wenn man mit dem besonderen Blick gesegnet ist, erkennt man noch dass

φ = 3 α

mit

α = \arccos (\frac{1}{7} \sqrt{21})

ist. Nur so hat man eine Chance, auch die drei

y

-Lösungen

1, 2, - 3

exakt zu erfassen. ;-)

anonymous

18:27 Uhr, 08.03.2023

Dankeschön wie kommt man aber auf dieses k?

anonymous

18:37 Uhr, 08.03.2023

Also ich habe die Substitution gemacht dann das

D

ausgerechnet und anschließend in die Formeln ausgerechnet
Die Formel habe ich aus diesem Video hergeleitet: youtu.be/_Y-cTWLnOSw

HAL9000

22:16 Uhr, 08.03.2023

Wenn du die Beiträge nicht liest, kann ich auch nichts dafür: Ich habe oben DEUTLICH gesagt

> wir sind im Casus irreducibilis (3 reelle Lösungen).

Und trotzdem fabulierst du in www.onlinemathe.de/forum/Kubische-Gleichung-mit-Cardanischer-Formel

> somit haben wir eine reelle und zwei komplexe Lösungen

Ich sage es dir ein letztes mal klar und deutlich: Es gibt hier drei reelle

x

-Lösungen, nämlich -2, 2 und 3, welches hier (zunächst) den drei

y

-Lösungen -3, 1 und 2 entspricht. Aber da du den neuen Thread zum selben Thema aufgemacht hast, scheinst du es ja besser zu wissen.

anonymous

22:41 Uhr, 08.03.2023

Nein es tut mir leid ich weiß es ja nicht besser aber die Formel ist mir halt unbekannt deshalb weiß ich nicht was ich damit anfangen soll und der Casus irreducibilis ist doch erst wenn

D < 0

ist oder nicht?

HAL9000

22:51 Uhr, 08.03.2023

Wenn du meinst, den Casus irreducibilis auch bewältigen zu können ohne diese Formeln, dann kannst du es alternativ natürlich auch mit deinen Formeln da versuchen - solltest dabei aber begreifen, dass es dann um dritte Wurzeln echt komplexer Zahlen geht:

\sqrt[3]{- \frac{6}{2} + \sqrt{{(\frac{6}{2})}^{2} + {(- \frac{7}{3})}^{3}}} = \sqrt[3]{- 3 + \sqrt{9 - \frac{343}{27}}} = \sqrt[3]{- 3 + \frac{10}{9} \sqrt{3} \cdot i}

.

Viel Erfolg.

anonymous

22:52 Uhr, 08.03.2023

Ja ich muss es leider so machen da es mein Fachlehrer von mir so verlangt um das Problem mit den negativen Wurzeln ansprechen zu können welches bei dieser Gleichung auftreten sollte

anonymous

22:53 Uhr, 08.03.2023

Achso und ich meinte der casus irreducibilis ist doch erst wenn

D > 0

ist oder nicht?

HAL9000

23:00 Uhr, 08.03.2023

Nicht bei dem

D

, wie ich es oben betrachtet habe. Vielleicht spielst du auf das

Δ

aus dem Wikipedia-Beitrag an, da besteht aber der Zusammenhang

Δ = - D

anonymous

23:05 Uhr, 08.03.2023

Ich weiß es glaube ich selber nicht weil ich einfach durcheinander bin und dass alles nicht mehr kann

Quadratsepp aktiv_icon

23:07 Uhr, 08.03.2023

Frage an Hal9000:

D = {(\frac{p}{3})}^{2} + {(\frac{q}{2})}^{2}

wobei, wie du sagst,

p = - 7

q = 6

Dann müsste

D

doch

\frac{130}{9}

sein und somit positiv?
Oder bin ich jetzt komplett stupid? :-D)

HAL9000

23:13 Uhr, 08.03.2023

Sorry, ich hab mit oben ein einziges mal beim Exponenten verschrieben: Richtig ist

D = {(\frac{p}{3})}^{3} + {(\frac{q}{2})}^{2}

, kannst du überall nachlesen (Wiki und sonstwo). In allen konkreten Rechnungen oben ist es richtig.

Quadratsepp aktiv_icon

23:17 Uhr, 08.03.2023

glaub ich dir instant, no offense! :-D)
Ich wollte nur verstehen, was hier vor sich geht. ;-)

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