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Kubische Gleichung mit Cardanischer Formel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Cardanische Formel, cardano, kubische gleichung, Polynom Grad, Polynomfunktion

anonymous

21:29 Uhr, 08.03.2023

Ich brauche Hilfe zu einer bestimmten Formel, ich habe die kubische Gleichung

f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24

und bräuchte den Lösungsweg mit der Cardanischen Formel da ich am verzweifeln bin. Im Anhang ist dass was ich schon getan habe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Tangente / Steigung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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21:51 Uhr, 08.03.2023

Hallo,

hier schonmal ein "Schnellkochrezept"

mit einem Beispiel. Vielleicht kannst

Du Dich da langhangeln...

02_Cardanische Formeln Schnellkochrezept

anonymous

22:01 Uhr, 08.03.2023

Dankeschön, mit dem ersten Punkt komme ich ja mit aber ab dem zweiten Punkt verstehe ich nichts mehr

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22:31 Uhr, 08.03.2023

Ich hab mir das aus irgendwann mal aus

dem Wikipedia-Artikel rausgefiltert.

de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Dort Abschnitt "Die cardanische Formel".

Da steht das alles noch mehr ausgeschmückt.

Es wird halt immer wieder substituiert.

Im 1. Schritt wird

0 = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24

\Leftrightarrow 0 = x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = : x^{3} + a x^{2} + b x + c

0 = z^{3} + p z + q

mit

z := x + \frac{a}{3} = x - 1, p := b - \frac{a^{2}}{3} = - 7

und

q := \frac{2 a^{3}}{27} - \frac{a b}{3} + c = 6

.

Bei 2. wird dann durch den dort kurz notierten termmechanischen Trick

0 = z^{3} + p z + q

0 = z^{3} - 3 v w z - v^{3} - w^{3}

mit

p = - 3 v w \Leftrightarrow v^{3} w^{3} = - \frac{p^{3}}{27}

und

q = - (v^{3} + w^{3})

.

Bei 3. wird dann zunächst scheinbar zusammenhanglos das Polynom

(t - v^{3}) (t - w^{3})

mit den Nullstellen

v^{3}

und

w^{3}

formuliert,

woraus sich dann aber die Lösungen

t_{1,2} = - \frac{q}{2} \pm \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + \frac{p^{3}}{27}} = - 3 \pm \sqrt{9 - \frac{7^{3}}{27}}

ergeben .

Bei 4. geht es wieder zurück zu

x

. Kurz:

z = v + w = t_{1}^{\frac{1}{3}} + t_{2}^{\frac{1}{3}} = {(- 3 + \sqrt{9 - \frac{7^{3}}{27}})}^{\frac{1}{3}} + {(- 3 - \sqrt{9 - \frac{7^{3}}{27}})}^{\frac{1}{3}} = 2

(Nebenbedingung

v w = {(- 3 + \sqrt{9 - \frac{7^{3}}{27}})}^{\frac{1}{3}} \cdot {(- 3 - \sqrt{9 - \frac{7^{3}}{27}})}^{\frac{1}{3}} = \frac{7}{3} = - \frac{p}{3}

passt

!)

\Rightarrow x = z + 1 = 3

(In der Tat sind

- 2,2,3

die Nullstellen des Polynoms).

Nun kann man die restlichen Nullstellen

(- 2,2)

mit

üblichen Schulmethoden (Polynomdivision, pq-Formel) ermitteln .

Es sind halt eine ganze Reihe von termmechanischen Tricks,

die bei der cardanischen Formel zusammenkommen.

Jeder dieser Tricks ist ein ganz persönliches Abenteuer

für den Lernenden. Da muss man sich durchwuseln, peu á peu...

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01:27 Uhr, 09.03.2023

Zu 4. muss ich noch ergänzen, dass es hier jeweils

drei dritte Wurzeln von

t_{1}

und

t_{2}

gibt,

da es sich um komplexe Zahlen handelt.

So führt

z = t_{1}^{\frac{1}{3}} + t_{2}^{\frac{1}{3}} = {(- 3 + \sqrt{9 - \frac{7^{3}}{27}})}^{\frac{1}{3}} + {(- 3 - \sqrt{9 - \frac{7^{3}}{27}})}^{\frac{1}{3}}

sogar schon zu allen drei Nullstellen des Polynoms.

z = 2

ist hier lediglich dass von WolframAlpha ausgegebene,

also (aus welchem Grund auch immer) bevorzugte Ergebnis des Terms.

HAL9000

08:50 Uhr, 09.03.2023

Knackpunkt ist die Berechnung von

v

mit

v^{3} = - 3 + \frac{10}{9} \sqrt{3} i

, ich bezeichne es bewusst nicht als

v \overset{?}{=} \sqrt[3]{- 3 + \frac{10}{9} \sqrt{3} i}

, denn damit würde ich mich auf den Hauptwert der dritten Wurzel festlegen, was ich hier nicht will.

In diesem besonderen Fall hier hilft

{(1 + \frac{2}{\sqrt{3}} i)}^{3} = 1 + 2 \sqrt{3} i - 4 - \frac{8}{3 \sqrt{3}} i = - 3 + \frac{10}{9} \sqrt{3} i

, d.h., wir bekommen gemäß der Berechnung komplexer Wurzeln die drei Lösungen

v_{k} = (1 + \frac{2}{\sqrt{3}} i) \cdot e^{\frac{2 k π}{3} i}

für

k = 0, 1, 2

Analog würde man für den zweiten Summanden

w

mit

w^{3} = - 3 - \frac{10}{9} \sqrt{3} i

dann

w_{k} = (1 - \frac{2}{\sqrt{3}} i) \cdot e^{- \frac{2 k π}{3} i}

für

k = 0, 1, 2

bekommen. Warum das "-" im Exponenten der komplexen Exponentialfunktion bei

w_{k}

? Nun weil nach wie vor die Bedingung

v_{k} \cdot w_{k} = \frac{7}{3}

erfüllt sein muss, und das geht nur in dieser Zuordnung der dritten Wurzeln zueinander.

Ok, rechnen wir zuende:

z_{0} = v_{0} + w_{0} = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}} i + 1 - \frac{2}{\sqrt{3}} i = 2

.

Für die anderen beiden Lösungen brauchen wir ein paar Nebenrechnungen: Mit

e^{\pm \frac{2 π}{3} i} = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2}

folgt

v_{1} = (1 + \frac{2}{\sqrt{3}} i) \cdot \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{3}} i

und analog

w_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{3}} i

, das ergibt

z_{1} = - 3

.

Schließlich bekommt man

v_{2} = (1 + \frac{2}{\sqrt{3}} i) \cdot \frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{5}{2 \sqrt{3}} i

und analog

w_{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2 \sqrt{3}} i

, das ergibt

z_{2} = 1

.

Rücktransformiert

x = z + 1

ergeben sich

x_{0} = 3, x_{1} = - 2, x_{2} = 2

.

-----------------------------------------------------------------------

Der trigonometrische Weg im anderen Thread ist i.a. ganz einfach notwendig zur Bestimmung der dritten Wurzel einer komplexen Zahl:

Nicht immer klappt das so schön mit Wurzeln wie hier im Beispiel, da muss man einfach über die Polardarstellung des Radikanden gehen. Deswegen nutzt man für die rein reelle Darstellung des Casus irreducibilis diese arccos/cos-Betrachtungen.

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11:45 Uhr, 09.03.2023

Bei 4. ist die vollständige Lösungsmenge für

z = v + w = {(- 3 + \sqrt{9 - \frac{7^{3}}{27}})}^{\frac{1}{3}} + {(- 3 - \sqrt{9 - \frac{7^{3}}{27}})}^{\frac{1}{3}}

mit Nebenbedingung

v \cdot w = - \frac{p}{3} = \frac{7}{3}

(und Dezimalbrüchen wie von WolframAlpha berechnet)

gegeben durch

z = (1 + 1,1547 \cdot i) + (1 - 1,1547 \cdot i) = 2

(die "primary roots"),

z = (0,5 - 1,4434 \cdot i) + (0,5 - 1,4434 \cdot i) = 1

und

z = (- 1,5 + 0,28868 \cdot i) + (- 1,5 - 0,28868 \cdot i) = - 3

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16:13 Uhr, 09.03.2023

HAL, hab Deinen Beitrag jetzt gelesen und verstanden, Danke !

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16:21 Uhr, 12.03.2023

Auch geil,
anonymous beansprucht hier dreist eine Doppel-Thread-Beratung
( www.onlinemathe.de/forum/Kubische-Gleichung-und-Cardanische-Formel

),

um sich dann doppelt zu verdünnisieren.
So ist das halt mit den kleinen Gästen,
wenn es mal ein bisschen mehr als

1 + 1

wird -
aber eh alles doof, was der Onkel da erzählt...

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