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Kugel und Ebene

Schüler

Tags: eben, Kugel, Mittelpunkt, Radius, Ursprung

ninakatharina aktiv_icon

13:57 Uhr, 05.05.2013

Hallo liebe Community, ich muss bis morgen eine Aufgabe lösen und vor der Klasse präsentieren.
Sie lautet:
Gegeben ist eine Kugel mit dem Ursprung als Mittelpunkt.Für welchen Radius schneidet die Kugel die Ebene E,berührt sie die Ebene oder hat keinen Punkt mit ihr gemeinsam?Wie lauten die Koordinaten des Berührpunktes?

a) E : 3 x_{1} + 12 x_{2} + 4 x_{3} - 13 = 0

b) E : 2 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} - 14 = 0

Ich habe bereits eine Kontrollösung und einen eigenen Lösungsansatz aber irgendwie klappt es trotzdem nicht...

Die Kontrollösung:

-Der Abstand von Ursprung 0 zur Ebene

E

wird bestimmt
-für den Ortsvektor des Berührpunktes

B

gilt:

\vec{b} = \vec{r} \cdot \vec{n_{o}}

a)

keine gemeinsamen Punkte:

r < 1

E

schneidet

K : r > 1

E

berührt

K : r = 1

und

B (\frac{3}{13}, \frac{2}{13}, \frac{4}{13})

b)keine gemeinsamen Punkte:

r < 2

E

schneidet

K : r > 2

E

berührt

K : r = 2

und

B (\frac{4}{7}, \frac{6}{7}, - \frac{12}{7})

Natürlich muss ich zeigen wie ich auf diese Lösung komme und genau da gibt es ein paar Schwierigkeiten.Es folgt mein Lösungsansatz :

a)gegeben:

M (0,0,0)

und die Eben(siehe Aufgabenstellung)
als erstes habe ich mir einen Punkt

P

gesucht der auf der Ebene liegt.Dieser ist bei mir

P (- 1,1,1)

denn:

3 \cdot - 1 + 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 13

nun bestimmte ich den Abstand(d) von

M

P : \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1)}^{2} + {(1)}^{2}} = 1

d = 1

daraus komme ich dann auch zu den Angaben in der Lösung sind(dazu malt man sich am Besten ein Skizze) aber jetzt kommt das erste Problem, wie komme ich auf den angegebenen Berührpunkt in der Lösung ????Ich weiß es einfach nicht

!!!

nun zu

b)

auch hier dachte ich mir, dass ich auf die gleiche Weise vorgehe.
Als Punkt

P

auf der Ebene hatte ich zuerst

: P (7,2,1)

. Eingesetzt ist der Punkt richtig, aber berechne ich den Abstand von Mittelpunkt zu ihm kommt nicht

d = 2

raus (wie in der Lösung) ist also meine Vorgehensweise falsch???Ich habe mir dann noch einen anderen Punkt

P

überlegt der in der Ebene liegt. Dieser ist

P (2, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}

).Berechne ich mit ihm den Abstand ergibt sich also Lösung

2,076655966

also gerundet 2(wie in der Lösung,aber eben nur gerundet). Für mich stellt sich nun die Frage ist mein Ansatz richtig??und wenn ja warum ist es bei Aufgabe

b

so komisch ???Auch hier kann ich den Berührpunkt nicht bestimmen!

Ich hoffe ihr könnt mir helfen und versteht meine Beschreibung.Danke für eure Hilfe!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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14:51 Uhr, 05.05.2013

Vermutlich wird Dich das jetzt erschrecken:
Dein erster Ansatz ist gründlich falsch!

Du nimmst Dir also irgendeinen Punkt der Ebene und berechnest den Abstand zum Nullpunkt.
Wenn Du eine Skizze gemacht hast (oder Dir das nur vorstellst) siehst Du, dass von einem anderen Punkt der Ebene (sehr wahrscheinlich) auch ein anderer Abstand zum Nullpunkt herauskommt.
Den Abstand des Nullpunktes von der Ebene erhält man genau dort, wo diese Entfernung am kleinsten ist, also wo dieser Verbindungsvektor senkrecht zur Ebene steht.

Wenn die Kugel die Ebene berühren soll, dann muss auch hier der Radius der Kugel senkrecht zur Ebene liegen.

Wie berechnet Ihr denn den Abstand zwischen einem Punkt (hier der Nullpunkt) und einer Ebene?
Mit der Hesseschen Normalenform?

Matlog aktiv_icon

14:52 Uhr, 05.05.2013

Nebenbei:

\sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = 1

???

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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