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Kugel zwischen 2 windschiefen Geraden

Schüler

Tags: Abstand, Kugel, windschiefe Geraden

AlexE aktiv_icon

18:01 Uhr, 08.05.2012

Hallo, ich habe bei folgedner Aufgabe ein Problem:

Gegeben sind 2 Geraden:

s: x= (-5/-7/12) + s*(2/-4/5)

t: x= (6/-5/-7) + t*(1/0/2)

Berechnen Sie die Gleichung der kleinsten Kugel, die s und t berührt, sowie die Koordinaten der Berührungspunkte!

Zu Beginn berechne ich den kleinsten Abstand der beiden windschiefen Geraden mit der Formelb $d = \overset{⇀}{A B} * {(\overset{⇀}{a} x \overset{⇀}{b})}_{0}$

Dieser ist 18, der Radius der Kugel beträgt also 9

Wie komme ich jetzt auf den Mittelpunkt der Kugel und die Berührpunkte?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

07:11 Uhr, 09.05.2012

Typischer Fall von Formelblindheit. Die fertige Formel verdeckt bei dir offensichtlich den Blick auf ihren Hintergrund. Mit dem Kreuzprodukt wird doch ein Vektor aufgestellt, der zu beiden Richtungsvektoren senkrecht ist. Die Normierung sorgt für die passende Länge. Mache dir klar, dass du die beiden Punkte brauchst, in denen die kürzeste Verbindung auf jeder der beiden Geraden ansetzt bzw. endet.

Der Verbindungsvektor (später Kugeldurchmesser) ist

(\begin{matrix} - 8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})

. Jetzt bildest du einen geschlossenen Umlauf vom Ursprung entlang der Geraden

s

bis zum Ansatzpunkt, von dort mit dem Verbindungsvektor zur Geraden

t

und auf dieser zurück zum Ursprung. Ergibt die Vektorsumme

\vec{0}

. Also

(\begin{matrix} - 5 \\ - 7 \\ 12 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ 5 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} - 8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ - 5 \\ - 7 \end{matrix}) - t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = \vec{0}

. 3 Gleichungen mit 3 Variablen, wobei du wegen des kleinsten Abstandes schon

k = 2

benutzen kannst. Setze dann

s

und

t

ein und berechne die beiden Ansatzpunkte. Der Kugelmittelpunkt liegt in ihrer Mitte.

prodomo aktiv_icon

07:13 Uhr, 09.05.2012

Sorry, streiche (später Kugeldurchmesser), mein Verbindungsvektor (nicht mit Kreuzprodukt berechnet, damit er die kleinst gannzahlige Länge bekommt) ist nur 9 LE lang.

Eva88 aktiv_icon

10:38 Uhr, 09.05.2012

1) t - s

Dann erhalte ich 3 Gleichungen

11 + t - 2 s

2 + 4 s

- 19 + 2 t - 5 s

2)

Jetzt mit den RV weiter

2 (11 + t - 2 s) - 4 (2 + 4 s) + 5 (- 19 + 2 t - 5 s) = 0

11 + t - 2 s + 2 (- 19 + 2 t - 5 s) = 0

3)

auflösen nach

s

und

t

s = - 1 t = 3

4)

in Vektoren einsetzen

- 7 | - 3 | 7

und

9 | - 5 | - 1

sind die Berührpunkte

5)

Abstand

d = \sqrt{{(9 + 7)}^{2} + {((- 5) - (- 3))}^{2} + {((- 1) - 7)}^{2}}

d = 18

6)

Mittelpunkt der Kugel

a)

Aus Berührpunkten einen Vektor bilden

b)

Den Vektor halbieren

a) - 7 | - 3 | 7 + r 16 | - 2 | - 8

b)

führt zum Punkt

1 | - 4 | 3

mit einem Radius von

9 .

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