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Kurve - Gewicht, Schwerpunkt, Integral

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Differentialtopologie

Tags: Differentialgeometrie, Differentialtopologie, Integration

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11:05 Uhr, 24.06.2015

Hallo liebes Forum, ich bräuchte eure Unterstützung bei dieser Aufgabe:

Für

t, T > 0

sei

γ

eine

C^{1} -

Kurve gegeben durch

γ (t) = (cos t, sin t, h t)

für

0 < t < T

. Die Menge

Γ := {γ (t) : 0 < t < T}

hat die Form einer Sprungfeder. Berechnen Sie Gewicht und Schwerpunkt im Folgenden:

1. Zeigen Sie, dass

Γ

eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des

ℝ^{3}

ist.
2. Berechnen Sie für eine konstante Dichte

p

(Gewicht der Sprungfeder), das Integral

M := \int_{Γ} p d S (x, y, z)

3. Bestimmen Sie nun für konstantes

p

den Schwerpunkt:

(\begin{matrix} x_{S} \\ y_{S} \\ z_{S} \end{matrix}) := \frac{1}{M} \int_{Γ} p (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) d S (x, y, z) := \frac{1}{M} (\begin{matrix} \int_{Γ} p x d S (x, y, z) \\ \int_{Γ} p y d S (x, y, z) \\ \int_{Γ} p z d S (x, y, z) \end{matrix})

.

4. Bestimmen Sie das Gewicht

M := \int_{Γ} p d S (x, y, z)

für

p (x, y, z) = x^{4} + y^{2}

.

So viel zu den Aufgabenstellungen. Nun baut das ganze ja etwas aufeinander auf, nur leider fängt bei der 1. schon mein Problem an, dass ich nicht zu zeigen weiß, dass

Γ

eine UMFK ist.
Hat da jemand einen Ansatz?
Für die Integrale sind mir Dinge wie die Gram'sche Determinante, Transformationssatz oder auch die einfache Definition eines Kurvenintegrals bekannt. Muss man da noch eine Parametrisierung finden?

Würde mich sehr über eure Hilfe freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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16:57 Uhr, 24.06.2015

Irgendjemand eine Idee?

PhantomV aktiv_icon

02:26 Uhr, 25.06.2015

Hi,

was für Definitionen kennst du denn für UMF? Da du ja hier das Bild einer Kurve hast, bietet es sich an eine (lokale) Parametrisierung zu nutzen.

Für die anderen Aufgaben solltest du dir vllt nochmal ansehen wie man ein Kurvenintegral berechnet.

Gruß PhantomV

mcjens aktiv_icon

10:42 Uhr, 25.06.2015

Unsere allgemeine Definition:
Eine Menge

M \subset ℝ^{n}

heißt eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des

ℝ^{n},

falls jedes

x_{0} \in M

eine offene Umgebung

U \subset ℝ^{n}

hat und es ferner eine zugehörige offene Menge

V \subset ℝ^{n}

und eine Immersion

φ : V \to ℝ^{n}

gibt mit

φ (V) = M \cap U,

sodass

φ : V \to φ (V) = M \cap U

eine Homöomorphismus ist.

Muss ich denn wirklich noch eine Parametrisierung für die Kurve finden? Wenn man von oben auf die Sprungfeder draufgucken würde, würde man den Einheitskreis sehen (Radius

1)

. Und die "äußere Länge" ist eben

h t

.

Also da ich ja nicht die Länge ausrechnen will, gehe ich davon aus, dass folgendes stimmen müsste:

\int_{M} f (x) d S (x) = \int_{V} f (φ (t)) | | φ' (t) | | d t

Und in diesem Fall wäre

f (x) = 1

bzw.

ρ,

also eine Konstante, richtig?

PhantomV aktiv_icon

22:29 Uhr, 25.06.2015

Das ist im Prinzip die Definition die ich im Sinn hatte (lokale Parametrisierung).
Auch braucht man natürlich nicht noch eine Parametrisierung, sondern nimmt eben gerade die Gegebene her.

D . h

. man muss also entsprechende Mengen und Abbildungen

φ

finden

s . d

. alles
aus der Definition erfüllt ist. Bei deinem Fall musst du das ganze nicht mal
lokal betrachten

(d . h

. für jeden Punkt), sondern man findet leicht eine Abbildung für alle Punkte.

Deine letzten Aussagen stimmen, also kannst du damit

2)

lösen und dann eigentlich
auch den Rest, welcher ähnlich wie

2)

ist.

Gruß PhantomV

mcjens aktiv_icon

11:03 Uhr, 26.06.2015

Okay, das klingt ja schonmal gut!
Nur leider weiß ich immer noch nicht so recht, wie ich nun zeige, dass eine UMFK vorliegt. Soll ich zunächst zeigen, dass die Parametrisierung

φ

eine Immersion ist?
Und dann Bijektivität von

φ

sowie

φ^{- 1}

PhantomV aktiv_icon

18:03 Uhr, 27.06.2015

Zu deiner ersten Frage: Ja.
Du musst aber auch die Mengen

U

und

V

entsprechend wählen. Anschließend kannst du zeigen
dass

φ

bijektiv ist. Damit folgt automatisch dass

φ^{- 1}

bijektiv ist. Was du hier also noch zeigen musst, ist dass sowohl

φ

als auch

φ^{- 1}

stetig(!) sind.

mcjens aktiv_icon

21:28 Uhr, 28.06.2015

Dann würde ich zunächst mal sagen:

y' (t) = (- sin t, cos t, h)

h

ist laut Voraussetzung

> 0

(steht oben nicht) und

cos t & sin t

sind nie gleichzeitig

0,

somit ist der Rang immer gleich

1 ...

?
Als Menge müsste man bestimmt etwas wie

(0, 2 π)

wählen, damit es bijektiv ist, oder?

Ich weiß leider noch nicht so richtig weiter, auch im Bezug auf Stetigkeit.

PhantomV aktiv_icon

21:59 Uhr, 29.06.2015

Der Rang des Differentials muss in jedem Punkt der UMF 1 sein. Ist das erfüllt?
Da

h \neq 0

ist, ist dies offensichtlich der Fall.

Stetigkeit von

γ

sollte klar sein (Komponenten sind stetig). Außerdem solltest du dir überlegen was die Umkehrfunktion von

γ

ist (Funktionsvorschrift bestimmen) und ob diese wieder stetig ist.

Man muss sich für Bijektivität nicht auf

(0,2 π)

beschränken, was dir sicherlich klar wird wenn du

γ^{- 1}

bestimmst.

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