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Kurvenanpassung ohne Krümmung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Krümmungsverhalten, Kurvenanpassung, Trassierung, Vierten Grades

Anni16 aktiv_icon

13:55 Uhr, 11.09.2010

Hallo :-)
Also ich habe in Mathe (Grundkurs,

P_{4}

im Abitur in

1,5

Jahren) im Moment das Thema Kurvenanpassung.
Zunächst einmal die Aufgabe:

Beim Bau einer Go - Kart - Bahn sind die beiden bereits vorhandenen gralinigen Teilstücke der Fahrbahn durch einen Übergangsbogen glatt miteinander verbunden. Dabei wird zusätzlich gefordert, dass dieses Verbindungsstück ein einheitliches Krümmungsverhalten aufweist, also keinen Wendepunkt besitzt.

(1)

Prüfen Sie zunächst, ob es eine geeignete ganzrationale Funktion 3.ten Grades gibt.

(2)

Versuchen Sie es dann, falls erforderlich, mit Funktionen vierten Grades.

Aufgabe eins habe ich so gelöst:
Den Urspung in Punkt A gelegt. (Steigungsdreieck

\frac{1}{- 1})

Punkt

B

hat somit die Koordinate

\frac{4}{4}

und ein Steigungsdreieck von

\frac{1}{7}

.
Die allgemeine Funktion dritten Grades lautet:

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

Die erste Ableitung davon ist:

f' (x) = 3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x + c

Die Bedingungen sind:

f (4) = 4 = 64 \cdot a + 16 \cdot b + 4 \cdot c + d

f (0) = 0 = d

f' (0) = - 1 = c

f' (4) = 7 = 48 \cdot a + 8 \cdot b + c

Dann halt mit dem GTR und Matrix

\to f (x) = 0.25 \cdot x^{3} - 0.5 \cdot x^{2} - 1 \cdot X

Dann habe ich den Wendepunkt bei

(\frac{0,667}{- 0} . 82)

bestimmt. Somit ist ja die Bedingung, dass das Verbindungsstück keine Krümmung aufweist, nicht erfüllt.

(2)

Hier weiß ich nun nicht mehr weiter. ich weiß, dass ich noch eine Bedingung brauche, dass in dem Verbinungsstück keine Krümmung vorliegt. Ich weiß nur nicht, wie sie lautet.
Außerdem haben wir uns aufgeschrieben, dass ein krümmungsruckfreier Übergang gegeben ist, wenn

f'' (x_{0}) = g'' (x_{0})

. Kann ich bei diesem Bsp. damit was anfangen und wenn ja wie?

Für Anregungen wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße

A ⋂ n i

:-)

Bitte, bitte. Ich hab übermorgen Mathe

: O; D

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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14:42 Uhr, 11.09.2010

Sonntags hast du Mathe ?
Ist so ohne die Originalskizze aus deinem Buch alles etwas schwer nachzuvollziehen aber probier doch dann einfach mal

f'' (0) = f'' (4),

vielleicht meintest du ja das.
Näheres kann man wie erwähnt nur sagen wenn du deine Aufgabe samt Skizze mal einscannst.

Anni16 aktiv_icon

15:15 Uhr, 11.09.2010

Ah scheiße. Heute ist ja erst Samstag :-D)
Oh man. Bin ich verplant.
Skizze einscannen ging nicht. Ich habs jetzt mit Paint gemacht, ist aber haargenau wie im Buch :-D).

Wie setze ich das konkret um?
Liebe Grüße :-)

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15:31 Uhr, 11.09.2010

Joa is doch hübsch geworden ;-)
Dann versuch das doch mal mit meiner vorhin erwähnten Zusatzbedingung.
Ich wüsste momentan auch nicht welche Zusatzbedingung man ansonsten noch verwenden könnte.

Anni16 aktiv_icon

16:08 Uhr, 11.09.2010

Und wie wende ich die neue Bedingung an? Das habe ich auch im Unterricht noch nicht so ganz verstanden

: (

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16:21 Uhr, 11.09.2010

Ich habs vorhin mal nachgerechnet, ich glaube das führt im Endeffekt auch zu nichts.
Prinzipiell musst du bei

(2)

dann halt von einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ausgehen, also von

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e

und den entsprechenden Ableitungen.
Dadurch ergeben sich dann neue Gleichungen durch deine obigen 4 Bedingungen.
Durch die 5. Bedingung

f'' (0) = f'' (4)

gibt es dann noch eine zusätzliche Gleichung.
Du musst nur die 0 und die

4

in die 2. Ableitung einsetzen, dadurch entstehen dann bestimmte Terme auf der linken und rechten Seite.
Vielleicht hatte ich mich auch verrechnet aber bei mir endete das letztendlich in einer falschen Aussage.

Wobei mir gerade einfällt, dass wohl eher

f'' (0) = g_{1}'' (0)

bzw

f'' (4) = g_{2}'' (4)

gemeint ist, wobei

g_{1} (x)

und

g_{2} (x)

die jeweilige lineare Funktion für die beiden Geraden ist.

Anni16 aktiv_icon

16:26 Uhr, 11.09.2010

Hm. Okay.
Danke :-).
Ich sag einfach, dass ich nicht wusste unter welcher Bedingung die Krümmung verschwindet. Wenn man das googelt findet man ja auch nichts.

Danke für deine Hilfe :-)

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16:28 Uhr, 11.09.2010

Doch versuch das doch mal mit meinem unten geposteten Vorschlag.
Das scheint zu funktionieren und passt auch genau zu dem, was hier an der Tafel hattet.

Anni16 aktiv_icon

16:32 Uhr, 11.09.2010

Wobei mir gerade einfällt, dass wohl eher

f'' (0) = g 1'' (0)

bzw

f'' (4) = g 2'' (4)

gemeint ist, wobei

g 1 (x)

und

g 2 (x)

die jeweilige lineare Funktion für die beiden Geraden ist.

Ich versteh irgendwie nicht so ganz was du damit meinst

; D

Aber habe ich dann nicht eine Fkt. 5ten Grades mit 6 Bedingungen?

Also

f (0) = 0

f (4) = 4

f' (0) = - 1

f' (4) = 7

f'' (0) = 0

f'' (4) = 0

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16:36 Uhr, 11.09.2010

Ganz genau, aber nimm einfach nur eine von beiden Zusatzbedingung dazu, damit ergeben sich wohl zwei mögliche Lösungen.
Also einmal nur mit

f'' (0) = 0

und einmal nur mit

f'' (4) = 0

Für welche von beiden es funktioniert musst du dann testen.

Anni16 aktiv_icon

16:38 Uhr, 11.09.2010

Okay. Danke :-)
Jetzt hab ichs verstanden. Kommt bei beidem das Gleiche raus? Eher nicht, oder?
Dann rechne ich das jetzt mal durch.

Liebe Grüße

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16:39 Uhr, 11.09.2010

Nein kommt nicht dasselbe raus und nur bei einem der beiden Fälle liegt wirklich kein Wendepunkt zwischen 0 und 4 vor.
Zur Kontrolle:

a = \frac{1}{32}; b = c = e = 0; d = - 1

Aber rechne es lieber nochmal selbst nach, vielleicht habe ich irgendwo einen Rechenfehler drin ;-)

Anni16 aktiv_icon

18:03 Uhr, 11.09.2010

Ich hab auch nicht bei beidem das Gleiche. Geht ja auch garnicht. War dumm formuliert. Sorry :-D)
Danke vielmals :-)

Anni16 aktiv_icon

18:05 Uhr, 11.09.2010

Ich wollte natürlich auf Frage beantwortet klicken :-D)
Danke!

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