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Kurvenintegral eines Polynoms über einen Kreis

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Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie

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PhysikKatze

PhysikKatze aktiv_icon

13:13 Uhr, 26.04.2024

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Hallo zusammen!

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei

p (z) = a_{0} + a_{1} z + . . . + a_{n} z^{n}

ein Polynom und

γ (t) = z_{0} + r e^{i t}

mit

z_{0} \in ℂ, r > 0, 0 \leq t \leq 2 π

ein Kreis. Berechnen Sie

I = \int_{γ} \overline{p (z)} d z

Hier weiß ich leider überhaupt nicht, wie ich vorgehen soll. Ich bin dankbar für jede Hilfe! :-)

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

HAL9000

14:04 Uhr, 26.04.2024

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Das ist eine Scherzfrage: Liegt die geschlossene Kurve

γ

vollständig in einem einfach zusammenhängendem Gebiet

Ω

, wo der Integrand holomorph ist, dann ist das Integral gleich Null (Cauchyscher Integralsatz).

Was hier dann zu

I = \int_{γ} \bar{p (z)} d z = \bar{\int_{γ} p (z) d z} = \bar{0} = 0

führt.

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:33 Uhr, 26.04.2024

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Hallo Hal,

mit Deiner Antwort habe ich Folgendes Problem: Für den Einheitskreis um den Nullpunkt:

\int_{γ} \bar{z} d z = \int_{0}^{2 \cdot π}

exp

(- i t) i

exp

(i t) d t = 2 π i

Antwort

HAL9000

18:11 Uhr, 26.04.2024

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Hmm stimmt, der Fehler in meiner Rechnung ist

\int_{γ} \bar{p (z)} d z = \bar{\int_{γ} p (z) d \bar{z}}

, d.h.

d \bar{z}

statt

d z

.

Ok, dann muss man sich wohl konventionell durchkämpfen bis zum Ergebnis

2 π r^{2} i \cdot \bar{p ´ (z_{0})}

- sofern ich mich nicht schon wieder verrechnet habe. ;-)

PhysikKatze

PhysikKatze aktiv_icon

09:14 Uhr, 27.04.2024

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Vielen Dank für eure Antworten und das Ergebnis! :-)
Ich hätte nur noch die Frage: Wie kämpfe ich mich denn konventionell dadurch? :-D)

Antwort

HAL9000

09:42 Uhr, 27.04.2024

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Na zunächst mal kann man das Polynom umschreiben zu

p (z) = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} {(z - z_{0})}^{k}

. Damit folgt dann (ähnlich wie bei pwmeyer)

I = \int_{γ} \bar{p (z)} d z = \int_{0}^{2 π} \bar{p (z_{0} + r e^{i t})} \cdot i r e^{i t} d t = i \int_{0}^{2 π} \bar{\sum_{k = 0}^{n} b_{k} {(r e^{i t})}^{k}} \cdot r e^{i t} d t = i \int_{0}^{2 π} \sum_{k = 0}^{n} \bar{b_{k}} r^{k + 1} e^{i (1 - k) t} d t

.

Nur für

k = 1

bekommt man einen Integralwert ungleich Null:

I = i \int_{0}^{2 π} \bar{b_{1}} r^{2} d t = 2 π r^{2} i \cdot \bar{b_{1}}

Nun ist

b_{k} = \frac{p^{(k)} (z_{0})}{k!}

(z.B. per Taylorformel), daher dann die obige Formel. Speziell bekommt man damit

b_{1} = p ´ (z_{0}) = \sum_{k = 1}^{n} k a_{k} z_{0}^{k - 1}

.

Frage beantwortet

PhysikKatze

PhysikKatze aktiv_icon

21:44 Uhr, 28.04.2024

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Vielen lieben Dank! :-)

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