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LGS mit Parameter lösen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: homogen, inhomogen, Lineare Gleichungssysteme, Matrizenrechnung, Parameter

soj1994 aktiv_icon

23:30 Uhr, 16.02.2016

Hallo Zusammen!

Ich habe hier folgendes LGS gegeben:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 2 & 2 & 2 & 5 a \\ 0 & 0 & c & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \\ x 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

Aufgabe ist, den Lösungsraum des homogenen Systems in Abhängigkeit von a und

c

zu lösen, den Lösungsraum des inhomogenen Systems in Abhängikeit, sowie Rang und Dimension anzugeben.

Kann mir jemand mal einen Tipp geben, wie ich das rangehe? Fange ich zum Beispiel mal mit dem ersten Teil an. Da hätte ich als erstes die Überlegung:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 2 & 2 & 2 & 5 a \\ 0 & 0 & c & 5 \end{matrix})

II-2*I

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 3 a \\ 0 & 0 & c & 5 \end{matrix})

Wie könnte ich nun weitermachen? Ich möchte keine vollständige Lösung haben, sondern bin eher daran interessiert, die Aufgabe mit euch zusammen zu lösen!

Vielen Dank und liebe Grüße,
soj1994

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

07:53 Uhr, 17.02.2016

Du musst den Vektor

(1, 2, 3)

"mitumformen".
Am besten kuck an einem Beispiel, wie es gemacht wird:
http//www.mathebibel.de/gauss-algorithmus

Wenn Du den Vektor

(1, 2, 3)

mitgenommen hättest,
wäre jetzt die 2. Zeile so:

(0, 0, 0, 3 a ∣ 0)

. Daraus folgt die Gleichung

3 a x_{4} = 0

, welche im Fall

a \neq 0

nur die Lösung

x_{4} = 0

hat, aber im Fall

a = 0

für alle

x_{4}

erfüllt ist. Das sagt uns, dass man die Fallunterscheidung

a = 0

und

a \neq 0

machen muss. Usw.

Respon

08:07 Uhr, 17.02.2016

\to

"Aufgabe ist, den Lösungsraum des homogenen Systems in Abhängigkeit von a und

c

zu lösen, ..."
???

DrBoogie aktiv_icon

09:12 Uhr, 17.02.2016

Danke, habe übersehen.
Aber grundsätzlich ist es kein großer Unterschied, ob homogen oder inhomogen.
Im homogenen Fall nimmt man statt

(1, 2, 3)

den Vektor

(0, 0, 0)

.
Die zweite Zeile wird nach der Umformung immer noch

(0, 0, 0, 3 a ∣ 0)

aussehen.

Respon

09:14 Uhr, 17.02.2016

Ita est.

soj1994 aktiv_icon

18:29 Uhr, 17.02.2016

Aber, wenn ich nun den Lösungsraum angeben soll des homogenen Systems, wie genau gehe ich da vor?

Müsste jetzt nicht die Fallunterscheidung kommen? Wenn ich also habe:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 3 a \\ 0 & 0 & c & 5 \end{matrix})

Würde ich dann jetzt sagen, 1. Fall:

a = 0; c = 0

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

2. Fall:

a \neq 0; c \neq 0

Dann würde ja die gleiche Matrix entstehen, wie gebe ich den Lösungsraum an?

DrBoogie aktiv_icon

18:52 Uhr, 17.02.2016

Im Fall

a = c = 0

ist der Lösungsraum

{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : x_{1} + x_{2} + x_{3} = x_{4} = 0}

.
In anderen Fällen ähnlich.

soj1994 aktiv_icon

19:20 Uhr, 17.02.2016

Das verstehe ich nicht so ganz. Problem ist auch, dass ich vier Variablen habe aber nur drei Zeilen. Wir haben den Lösungsraum irgendwie immer anders angegeben.

Oh man, irgendwie blicke ich das gerade nicht durch.

IPanic aktiv_icon

20:10 Uhr, 17.02.2016

Fall

a = c = 0

aus der 2ten Zeile folgt

5 \cdot x_{4} = 0 \Leftrightarrow x_{4} = 0

Bei

x_{2}, x_{3}

hat man Spalten ohne Stufen, also freie Parameter

x_{2} = t \in ℝ

x_{3} = s \in ℝ

Einsetzen in erste Zeile liefert

x_{1} = - t - s

L (A,0) = (\begin{matrix} - t - s \\ t \\ s \\ 0 \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

soj1994 aktiv_icon

20:18 Uhr, 17.02.2016

Wenn ich das nun für den ersten Fall angegeben habe, muss ich das ja auch für den Fall angeben, dass a und

c

ungleich 0 sind. Also:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & c & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 3 a \end{matrix})

Wie mache ich nun weiter?

ledum aktiv_icon

00:55 Uhr, 18.02.2016

Hallo
schon aus

c = 0

folgt

x_{4} = 0

auch mit

a \neq 0

mit

c \neq 0, a = 0

folgt

x_{4}

beliebig

= r; x_{3} = - 5 \frac{r}{c}

x_{1} + x_{2} = - x_{3}

x_{1} = s

beliebig, daraus

x <_{2}

a \neq 0, c \neq 0 \to x_{4} = x_{3} = 0, x 1 = - x_{2}

frei wählbar
das jetzt nur noch in Vektorschreibweise.
Gruß ledum

soj1994 aktiv_icon

08:19 Uhr, 19.02.2016

Also gilt:

für

a = c = 0

folgt:

L (A,0) = t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

für

a = 0, c \neq 0

folgt:

L (A,0) =

??

für

a \neq 0, c = 0

folgt:

L (A,0) = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

für

a \neq 0, c \neq 0

folgt:

L (A,0) = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Und wenn ich nun das inhomogene System berechne, wie gehe ich da vor?

ledum aktiv_icon

22:32 Uhr, 19.02.2016

du suchst eine spezielle lösung des Inhiomogenen Systems und addierst sie zu den jeweiligen Lösungen des homogenen.
Gruss ledum

soj1994 aktiv_icon

20:02 Uhr, 20.02.2016

Sind die Lösungen für das homogene System richtig? Bzw. wie notiere ich die Lösung für

a = 0

und

c \neq 0

?

Könntest du ein Beispiel geben, wie ich die Lösung für das inhomogene System finde?

DrBoogie aktiv_icon

09:33 Uhr, 21.02.2016

"Sind die Lösungen für das homogene System richtig?"

Im Fall a=c=0 richtig. Im Fall

a \neq 0, c \neq 0

auch.
In den anderen nicht.

a = 0, c \neq 0

c x_{3} + 5 x_{4} = 0

und

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0

. Eins von beiden

x_{3}

x_{4}

kann man frei wählen, z.B.

x_{4}

. Auch eins von beiden

x_{1}

x_{2}

kann man frei wählen, z.B.

x_{2}

. Das ergibt den Lösungsraum

{t (0, 0, - c / 5, 1) + s (- 1, 1, 0, 0)}

(das ist nur eine Darstellungsmöglichkeit, die Darstellung in Parameterform ist nie eindeutig!).

Genauso stellt man fest, dass im Fall

a \neq 0, c = 0

und den entsprechenden Gleichungen

x_{1} + x_{2} + x_{3} + a x_{4} = 0

5 x_{4} = 0

der Lösungsraum so aussieht:

{t (0, 0, - a, 1) + s (- 1, 1, 0, 0)}

.

"Könntest du ein Beispiel geben, wie ich die Lösung für das inhomogene System finde?"

Ich habe Dir den Link gegeben, hast Du ihn überhaupt gelesen?
Du musst den "freien Vektor" mitumformen. Das heißt, Du hast dann die Matrix aus den Zeilen

(1, 1, 1, a ∣ 1), (0, 0, 0, 3 a ∣ 0)

und

(0, 0, c, 5 ∣ 3)

. Die letzte Zeile bedeutet die Gleichung

c x_{3} + 5 x_{4} = 3

. Im Fall

c = 0

ist ihre Lösung

x_{4} = 3 / 5

. Wenn jetzt

a \neq 0

, dann muss aus der 2. Gleichung

3 a x_{3} = 0

folgen, dass

x_{4} = 0

. Das geht nicht mehr, also gibt's im Fall

c = 0, a \neq 0

keine Lösung. Ist aber

c = 0, a = 0

, so gibt's kein Problem, es bleibt

x_{4} = 3 / 5

und es bleibt nur die Gleichung

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1

, welche z.B. mit

x_{1} = 1, x_{2} = x_{3} = 0

erfüllt ist. Damit ist im Fall

c = 0, a = 0

eine inhomogene Lösung gefunden:

(1, 0, 0, 3 / 5)

. Die zwei restlichen Fälle darfst Du alleine machen.

soj1994 aktiv_icon

11:44 Uhr, 21.02.2016

D . h

. mit der Angabe des Lösungsraumes gebe ich eine Möglichkeit an, es gibt aber unter Umständen mehrere?

Beim inhomogenen habe ich das nun mal für den Fall

a \neq 0

und

c \neq 0

versucht. Dann kommt aus:

Aus III folgt:

x 4 = \frac{1}{a},

eingesetzt in II folgt:

x 3 = - \frac{5}{c \cdot a},

eingesetzt in I folgt:

x 1 + x 2 = 1 - \frac{1}{a} + \frac{5}{c \cdot a} -

wie gehe ich weiter vor? Kann ich jetzt

z . B

x 2

rüberholen, sodass

x 1 = 1 - \frac{1}{a} + \frac{5}{c \cdot a} - x 2,

aber dann weiß ich ja nicht, was

x 2

ist. Oder ist der Ansatz ganz falsch?

Achso und für

a = 0, c \neq 0

würde sich in III ergeben, dass

0 = 3

und daher gibt es hier keine Lösung, richtig?

DrBoogie aktiv_icon

14:28 Uhr, 21.02.2016

"mit der Angabe des Lösungsraumes gebe ich eine Möglichkeit an, es gibt aber unter Umständen mehrere?"

Der Lösungsraum ist eindeutig, die Darstellungsmöglichkeiten davon aber unendlich viele.
Z.B. die Räume

{t (0, 1, 0) + s (1, a, 0)}

sind gleich für alle Werte von

a

, also, das ist für alle

a

derselbe Raum!!!
Das wüsstest Du übrigens, wenn Du die Theorie gelernt hättest, statt gleich drauflos Fragen in Forum zu stellen.

DrBoogie aktiv_icon

14:33 Uhr, 21.02.2016

"Oder ist der Ansatz ganz falsch?"

Doch, richtig.

x_{2}

ist jetzt frei wählbar, das ist der freie Parameter.

x_{1}

drückt man dann durch

x_{2}

aus. (Kuck mal, was IPanic zu freien Parametern oben geschrieben hat, das geht hier genauso).

"Achso und für a=0,c≠0 würde sich in III ergeben, dass 0=3 und daher gibt es hier keine Lösung, richtig?"

Richtig. Übrigens, bei

a = 0

gibt's generell keine inhomogene Lösung, also hatte ich Unrecht oben (im Fall

a = c = 0

), ich hatte da eine Gleichung übersehen.

soj1994 aktiv_icon

16:58 Uhr, 21.02.2016

Vielen Dank für eure Hilfe, das hat mir sehr geholfen.

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