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Lagebestimmung von Punkten zu Kugel

Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Kugel, Mittelpunkt, Radius, Schnittgerade, Schnittwinkel, Tangentialebene

buffy333 aktiv_icon

09:31 Uhr, 08.03.2009

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1|3|-3) und B(0|8|-9), sowie eine Kugel

K_{1}

mit der Gleichung

K_{1} : x_{1}^{2} - 6 x_{1} + x_{2}^{2} - 4 x_{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{3} = 7

gegeben.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes

M_{1}

und den Radius

r_{1}

der Kugel

K_{1}

. Überprüfen Sie die Lage der Punkte A und B bezüglich der Kugel

K_{1}

. Die Gerade g durch die Punkte A und B schneidet die Kugel

K_{1}

. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g und

K_{1}

.

b) In den Schnittpunkten der Geraden g mit der Kugel

K_{1}

werden an die Kugel die Tangentialebenen

E_{1}

und

E_{2}

gelegt. Stellen Sie jeweils eine Gleichung für die Tangentialebenen

E_{1}

und

E_{2}

auf. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden h und die Größe des Schnittwinkels der beiden Ebenen.

c) Die Ebenen

E_{1}

und

E_{2}

sind Tangentialebenen weiterer Kugeln

K_{r}

. Bestimmen Sie den Mittelpunkt einer solchen Kugel mit dem Radius

\frac{10}{\sqrt{(} 21)}

. Geben Sie den Mittelpunkt

M_{r}

aller Kugeln in Abhängigkeit vom Radius r an.

Lösungsweg:

zu a)

Quadratische Ergänzung:

K_{1} : x_{1}^{2} - 6 x_{1} + 9 + x_{2}^{2} - 4 x_{2} + 4 + x_{3}^{2} - 2 x_{3} + 1 = 7 + 9 + 4 + 1

Zusammenfassen:

K_{1} : (x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} - 2)^{2} + (x_{3} - 1)^{2} = 21

Mittelpunkt: M(3|2|1), r=

\sqrt{(} 21)

Lage des Punktes A:
auf der Kugeloberfläche, da

∣ \vec{M_{K} A} ∣ = \sqrt{21}

.

Lage des Punktes B:
außerhalb der Kugel, da

∣ \vec{M_{K} B} ∣ = \sqrt{145} > r_{K}

.

Gerade durch A und B:

g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + t (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ - 6 \end{array})

Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen:
Hier benötige ich den audführlichen Rechenweg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Astor aktiv_icon

10:32 Uhr, 08.03.2009

Hallo,
also a) ist doch richtig.
Dann habe ich die Geradengleichung durch AB in die Kugelgleichung eingesetzt und für

λ

ergab sich 0, bzw. -1. Somit sind A und C(2/-2/3) Schnittpunkte und Aufpunkte der gesuchten Ebenen. Die Normalenvektoren sind dann MA bzw. MC.
Die Schnittgerade kannst du sicher erstellen, sowie den Schnittwinkel.
Gruß Astor

buffy333 aktiv_icon

10:36 Uhr, 08.03.2009

Hallo Astor, vielen Dank schonmal. Leider bin ich nicht so gut im Umgang mit binomischen Formeln. Für die Berechnung des zweiten Schnittpunktes durch Gleichsetzen von g und E genötige ich einen Rechenweg. Viele Grüße!

Astor aktiv_icon

11:40 Uhr, 08.03.2009

Hallo,
also:

g : \vec{x} = (1 / 3 / - 3) + λ (- 1 / 5 / - 6)

d.h.

x_{1} = 1 + λ * (- 1); x_{2} = 3 + λ * 5; x_{3} = - 3 + λ * (- 6)

setze ich in die Kugelgleichung ein und erhalte:

(1 - λ - 3)^{2} + (3 + 5 λ - 2)^{2} + (- 3 - 6 λ - 1)^{2} = 21

(- 2 - λ)^{2} + (1 + 5 λ)^{2} + (- 4 - 6 λ)^{2} = 21

4 + 4 λ + λ^{2} + 1 + 10 λ + 25 λ^{2} + 16 + 48 λ + 36 λ^{2} = 21

62 λ + 62 * λ^{2} = 0

Gruß Astor

buffy333 aktiv_icon

19:59 Uhr, 08.03.2009

Besten Dank und viele Grüße!

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