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Lagrange Multiplikator Verstaendnisfrage

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Lagrange Multiplikator

funkyjunky

07:23 Uhr, 10.01.2012

Hi, habe ein Verstaendnisproblem mit der folgenden Angabe.

Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren denjenigen Punkt auf der Parabel

x^{2} + y = 1

, der dem Urpsrung am naechsten liegt.

Hab die Parabel mal bei WA eingegeben
www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By%3D1) und denke, dass ich wohl das Maximum auf der y-Achse ausrechnen muss, wobei die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse auch nicht weiter weg liegen. Wie komm ich da genau auf die Loesung? Koennte mir jemand einen Tipp geben, wie ich waehrend der Pruefung bei so einer Angabe auf eine Loesung kommen kann? Waere fuer jeglichen Hinweis dankbar, vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Yokozuna aktiv_icon

09:29 Uhr, 10.01.2012

Hallo,

weder der Punkt

(0 | 1)

noch die beiden Nullstellen

(- 1 | 0)

und

(1 | 0)

haben minimalen Abstand zum Ursprung. Die beiden Punkte mit minimalen Abstand zum Ursprung siehst Du im beigefügten Bild.
Wie ermittelt man nun diese Punkte? Durch die Aufgabenstellung ist ja die Lagrange-Methode schon vorgegeben,

d . h .,

Du mußt eine Funktion

L (x, y, λ)

aufstellen. Dazu brauchst Du eine Nebenbedingung, die Du schon hast

(x^{2} + y = 1)

und eine Funktion, deren Minimum unter der gegebenen Nebenbedingung gesucht wird. Minimiert werden soll doch der Abstand vom Ursprung. Also, wie berechnet man den Abstand eines Punktes

P (x | y)

vom Ursprung? Wenn Du das hast, kannst Du

L (x, y, λ)

aufstellen.

Viele Grüße
Yokozuna

funkyjunky

01:51 Uhr, 11.01.2012

Alles klar, vielen Dank auch fuer die rasche Antwort!
Falls es jem. interessiert, meine Loesung ist x=1/4 und y=1/2.

Yokozuna aktiv_icon

08:58 Uhr, 11.01.2012

Hallo,

daß Du die Frage schon geschlossen hast, ist wohl etwas voreilig, denn Deine Lösung ist nicht richtig. Das sieht man schon daran, daß die Nebenbedingung

({(\frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{2} \neq 1)

nicht erfüllt ist. Vielleicht erzählst Du hier mal was Du gemacht hast, damit wir den Fehler finden.

Viele Grüße
Yokozuna

funkyjunky

02:21 Uhr, 12.01.2012

Hm, stimmt, da hab ich wohl die Nebenbedingung nicht gecheckt..also da ich den Abstand eines Punktes zum Ursprung minimieren muss, habe ich die Funktion

f (x) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

.
Meine Lagrange Funktion ist dann

L (x) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} - λ (x^{2} + y - 1)

.
Dann habe ich die Ableitungen davon:

L_{x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} - 2 λ x

L_{y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} - λ

L_{λ} = x^{2} + y - 1

Aus

L_{x}

bekomme ich:

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} - 2 λ x = 0

λ = \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Das setze ich dann in

L_{y}

ein:

\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

y * \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

jetzt kuerzt sich

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

weg.
dh. y=1/2.
Das setze ich in

L_{λ}

ein.

x^{2} + y - 1 = 0

x^{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0

x = \frac{1}{4}

Wo hab ich da den Denkfehler gemacht?

Yokozuna aktiv_icon

05:22 Uhr, 12.01.2012

Hallo,

der Denkfehler ist ganz am Schluß:

x^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

1. Du hast quadriert statt Wurzel zu ziehen.
2. Es gibt 2 Minimallösungen

(\pm),

siehe meine Zeichnung.

Viele Grüße
Yokozuna

funkyjunky

08:01 Uhr, 13.01.2012

ahhh...jup, vielen dank! :-)

Atlantik aktiv_icon

12:36 Uhr, 18.09.2020

Wenn Lagrange nicht vorgeschrieben ist:

p : y = - x^{2} + 1

und

k : x^{2} + y^{2} = r^{2} \to x^{2} = r^{2} - y^{2}

y = - (r^{2} - y^{2}) + 1 = - r^{2} + y^{2} + 1

y^{2} - y = r^{2} - 1

{(y - \frac{1}{2})}^{2} = r^{2} - 1 + \frac{1}{4} = r^{2} - \frac{3}{4}

y_{1} = \frac{1}{2} + \sqrt{r^{2} - \frac{3}{4}} \to y = - x^{2} + 1 \to x^{2} = 1 - y

y_{2} = \frac{1}{2} - \sqrt{r^{2} - \frac{3}{4}}

Da Diskriminante bei Berührung 0 ist, liegt der nächste Punkt

B_{1} (\sqrt{\frac{1}{2}} | \frac{1}{2}

)und bei

B_{2} (- \sqrt{\frac{1}{2}} | \frac{1}{2})

mfG

Atlantik

Roman-22

15:31 Uhr, 18.09.2020

Mein Gott! Die nächste Leichenschändung!
Das Exhumieren eines acht Jahre alten Threads ist, höflich gesagt, irritierend, aber nicht hilfreich!

Das ganz allgemein gesagt und unabhängig davon, dass man sich auch so seine Gedanken machen kann, was es bedeutet, dass jemand einen Thread mit dem Betreff
Lagrange Multiplikator Verstaendnisfrage
und der Frage
"Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren..."
acht Jahre später mit
"Wenn Lagrange nicht vorgeschrieben ist: ..."
"beantwortet".

Atlantik aktiv_icon

18:56 Uhr, 18.09.2020

@Roman:

www.onlinemathe.de/forum/Steckbriefaufgabe-Klasse-12-Funktionen

mfG

Atlantik

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