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Laplacetransformation mit bestimmten Integralen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Bestimmtes Integral, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Laplace Transformation

ChristianKl aktiv_icon

18:06 Uhr, 20.03.2012

Hallo,

Ich habe ein Problem bei einer DGL, die unter der Verwendung der Laplacetransformation gelöst werden soll. Das eigentlich Problem ist dabei allerdings nicht die Transformation selber, eher, das es sich hierbei um bestimmte Integrale handelt.

f(t) = t - 3 $t ϵ [0, 3]$

f(t) = (t - 3)² $t ϵ (3, 4]$

f(t) = 2 $t > 4$

Für diese Angaben habe ich folgende Gleichung bestimmt:

$ϒ (f (t)) (s) = \int_{0}^{3} (t - 3) e^{- s t} d t + \int_{3}^{4} (t - 3) ² e^{- s t} d t + \int_{4}^{\infty} 2 e^{- s t} d t$

Die einzelnen Integrale wollte ich, um einen Rechensalat zu vermeiden getrennt lösen und habe deshalb diese aufgestellt und umgeschrieben:

$1. \int_{0}^{3} t e^{- s t} d t - 3 \int_{0}^{3} e^{- s t} d t$

$2. \int_{3}^{4} t² e^{- s t} d t - 6 \int_{3}^{4} t e^{- s t} d t + 9 \int_{3}^{4} e^{- s t} d t$ , da binomische Formel

$3. 2 \int_{4}^{\infty} e^{- s t} d t$

Ich hoffe, das ist soweit richtig. Bei den nächsten 2.Schritte würde ich jetzt die Stammfunktionen bilden und die einzelnen Lösungen summieren. Der letzte Schritt stellt kein Problem weiter da, allerdings versagen meine Kenntnisse leider völlig im Bezug auf das lösen bestimmter Integrale bei einer Laplacetransformierten.

Bitte deshalb um Hilfe! Vielen Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln zum Integral
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenberechnung und bestimmtes Integral

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

CKims aktiv_icon

22:25 Uhr, 20.03.2012

ich nehme an ihr sollt noch nicht die korrespondenztabelle verwenden... dann

stammfunktion von

e^{- s t}

ist

- \frac{1}{s} e^{- s t}

stammfunktion von

t e^{- s t}

mit der partiellen integration machen

\int t e^{- s t} d t = - t \frac{e^{- s t}}{s} - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t = - t \frac{e^{- s t}}{s} - \frac{e^{- s t}}{s^{2}}

stammfunktion von

t^{2} e^{- s t}

zweimalige partielle integration

\int t^{2} e^{- s t} d t = - t^{2} \frac{e^{- s t}}{s} - \int - 2 t \frac{e^{- s t}}{s} d t = - t^{2} \frac{e^{- s t}}{s} + \frac{2}{s} \int t e^{- s t} d t

wobei du fuer das hintere integral die loesung von oben einsetzen kannst...

dann halt noch deine grenzen einsetzen

lg

ChristianKl aktiv_icon

14:14 Uhr, 21.03.2012

Hallo,

Vielen Dank für die Antwort, hat mir sehr weiter geholfen. Habe nun meine Grenzwerte eingesetzt und zusammengefasst. Sofern ich keine Vorzeichenfehler gemacht habe dürfte jetzt alles stimmen. Zusammengefasst habe ich für die einzelnen Integrale folgende Lösungen erhalten:

$1. \frac{1}{s^{2}} - \frac{3}{s} - \frac{1}{s^{2}} e^{- 3 s}$

$2. \frac{2}{s^{3}} e^{- 3 s} - \frac{2}{s^{2}} e^{- 4 s} - \frac{1}{s} e^{- 4 s} - \frac{2}{s^{3}} e^{- 4 s}$

$3. \frac{2}{s} e^{- 4 s}$

Die Summe daraus hat dann bei mir

$\frac{1}{s^{2}} - \frac{3}{s} - \frac{1}{s^{2}} e^{- 3 s} + \frac{2}{s^{3}} e^{- 3 s} - \frac{2}{s^{2}} e^{- 4 s} + \frac{1}{s} e^{- 4 s} - \frac{2}{s^{3}} e^{- 4 s}$

ergeben.

Vielen Dank nochmals!

Viele Grüße

986885

986547

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