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Lebesgue Integral bestimmen

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Integration

Maßtheorie

Tags: Integration, Maßtheorie

Salasah aktiv_icon

15:09 Uhr, 03.11.2013

Wie berechne ich folgendes Integral?

\int_{| N} e^{- x}

dµ, wobei µ:

P (Ω) \to | R_{+}

das Zählmaß ist.

Ich weiß leider nicht wie ich bei sowas vorhere
Das Integral ist ja

- e^{- x}

und wie geht das jetzt bzgl. des Zählmaß

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Sina86

17:17 Uhr, 03.11.2013

Hallo,

also, ganz so einfach ist das beim Lebesgue-Integral nicht. Vlt erinnerst du dich, dass auch die Konstruktion vom Riemann-Integral etwas komplizierter war (eine unendliche Summe von Zahlen, gewichtet nach der Länge eines immer kleiner werdenden Intervalls) und man erst später gezeigt hat, dass es einen Zusammenhang zu den Stammfunktionen gab.

Deswegen musst du dich auch hier an die Konstruktion des Lebesgue-Integrals halten. Du benötigst eine punktweise monoton steigende Folge

(f_{n})_{n \in ℕ}

von Treppenfunktionen, die punktweise gegen die Funktion

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto e^{- x}

konvergiert (hier sollte man natürlich eine möglichst einfache Varienate nehmen).

Da

f_{n}

eine Treppenfunktion ist, kann man die Funktion schreiben, als

f_{n} := \sum_{k = 1}^{n} α_{i} A_{i}

, mit

α_{i} \in ℝ

und

A_{i} \subseteq ℝ

, wobei die

A_{i}

kompakte Intervalle sind, so dass

{\overset{°}{A}}_{i} \cap {\overset{°}{A}}_{j} = \emptyset

für

i \neq j

. Dann ist

\int_{ℕ} f_{n} d μ := \sum_{i = 1}^{n} α_{i} μ (A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} \sum_{k \in ℕ} χ_{A_{i}} (k)

Hier geht die Definition des Zählmaßes ein. Dies ist eine endliche Summe von Zahlen und man erhält für jedes

n

eine andere Zahl, also eine Zahlenfolge. Dann ist

\int_{ℕ} f d μ := lim_{n \to \infty} \int_{ℕ} f_{n} d μ

Beste Grüße
Sina

Salasah aktiv_icon

15:31 Uhr, 07.11.2013

Ok soweit ist alles klar, aber wo geht denn

e^{- x}

ein? Ist das ergebnis nicht irgendeine Zahl oder so?
Mhm also ich verstehe noch nicht ganz was da jetzt als Ergebnis rauskommt..

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