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Lebesgue Integral über einem 4 Dimensionalen Ball

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Lebesgue, Lebesgue-Maß

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01:28 Uhr, 20.03.2023

Aufgabe:

Überprüfen Sie, für welche a ∈ R folgendes Lebesgue-Integral über

B_{1}^{4} (0)

⊂

R^{4}

existiert, und berechnen Sie es für diese a:

\int_{B_{1}^{4} (0)} \frac{1}{(x^{2} + y^{2} + u^{2} + v^{2})^{a}} d λ^{4} ((x, y, u, v))

Problem:

Dies ist eine Klausuraufgabe der Analysis 3 gewesen, die in 20 Minuten zu lösen sein soll. Mit der Transformationsformel komme ich zwar auf ein Ergebnis, jedoch hat das wegen der 4 Dimensionen eine kleine Ewigkeit gedauert. Kennt jemand einen Trick, den man hier anwenden kann?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

09:53 Uhr, 20.03.2023

Soviel Rechnerei ist es gar nicht, wenn man den geeigneten Hebel ansetzt:

Der Integrand

∥ x ∥^{- 2 a}

ist rotationssymmetrisch in jeder Richtung, mit der

n

-dimensionalen Volumenformel

V_{n} (r) = b_{n} r^{n}

gilt also schlicht (durch Aufteilung der Kugel in "Schalen")

I_{n} (a) := \int_{B_{1}^{n} (0)} ∥ x ∥^{- 2 a} d λ^{n} (x) = \int_{0}^{1} r^{- 2 a} d V_{n} (r) = \int_{0}^{1} r^{- 2 a} n b_{n} r^{n - 1} d r = n b_{n} \int_{0}^{1} r^{n - 1 - 2 a} d r

Für

n - 1 - 2 a > - 1

, umgestellt

a < \frac{n}{2}

existiert das Integral, es kommt raus

I_{n} (a) = \frac{n b_{n}}{n - 2 a}

.

Für

a \geq \frac{n}{2}

haben wir hingegen Divergenz.

Gilt auch für den hier relevanten Fall

n = 4

, für den übrigens

b_{4} = \frac{π^{2}}{2}

und damit

I_{n} (a) = \frac{π^{2}}{2 - a}

für

a < 2

gilt.

P.S.: Zugegeben habe ich etwas falsch gespielt, indem ich die Kenntnis des Volumens

b_{n}

der

n

-dimensionalen Einheitskugel hier einfach vorausgesetzt habe. Dessen Berechnung allein kann ja auch schon eine Weile dauern - aber da ich (bis jetzt) keine Beschwerden diesbezüglich höre, ist es ja vielleicht auch Ok so. ;-)

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