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Limes Superior von Produkten

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Annikanni aktiv_icon

18:21 Uhr, 10.11.2012

Hallo zusammen! Ich habe eine Aufgabe, bzw 2 Beweise gemacht, bei denen ich mir aber unsicher bin, ob das überhaupt so geht!
Hier die Aufgaben und meine Lösungen:

a) ℤ :

limsup

(a_{k} \cdot b_{k}) \leq

sup

{

a_k:k>=n}*limsup

{b_{k} : k \geq n}

Beweis: (ich lass das

lim

jetzt einfach immer weg)

d . h

. dass

\supset {a_{k} : k \geq n \cdot \supset {b_{k} : k \geq N}

obere Schranke von

\supset (a_{k} \cdot b_{k})

.
limsup

a_{n} \cdot b_{n} = lim a_{n} \cdot b_{n} (< a_{n} \cdot b_{n})

(hier sind bei

a_{n} \cdot b_{n}

jeweils striche drüber, die angeben dass das

\supset

gemeint ist, weiß nicht wie man die hier macht)
so und

lim a_{n} \cdot b_{n} = lim a_{n} \cdot lim b_{n}

(jeweils wieder mit strich drüber).

Jetzt kommt der eigentliche Beweis:
Sei

k \geq n

a_{k} \cdot b_{k} \leq \supset {a_{k} : k \geq n} \cdot b_{k} \leq \supset {a_{k} : k \geq n} \cdot \supset {b_{k} : k \geq n}

\to a_{n} \cdot b_{n}

(mit Strich drüber) ist obere Schranke von

{a_{k} \cdot b_{k} : k \leq n}

\to a_{k} \cdot b_{k}

(mit strich über beides zusammen)

\leq a_{k} \cdot b_{k}

(einzeldn mit Strich)

q . e . d

b) ℤ :

limsup

a_{n} \cdot b_{n} = lim a_{n} \cdot lim b_{n}

Beweis: limsup

b_{n} \cdot lim a_{n} = lim b_{n}

(mit Strich drüber)*

a_{n}

(mit strich)

= lim b_{n}

(mit Strich)

\cdot a_{n}

(mit Strich)

= lim a_{n} \cdot b_{n}

(beides Strich drüber) = limsup

a_{n} \cdot b_{n}

Super wäre auch , wenn mir einer ein Gegenbeispiel nennen könnte, sodass
limsup

a_{n} \cdot b_{n} \neq

limsup

a_{n} \cdot

limsup

b_{n},

weil ich für mich keins finde, dass das nicht gilt, und das noch nciht so wirklich verstehe!
Vielen Dank!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Annikanni aktiv_icon

18:52 Uhr, 11.11.2012

Es wäre echt super, wenn mir einer antowrten würde! Ich brauche die Sachen bis morgen nachmittag! Bitte, bitte, das wäre super! :-)

Annikanni aktiv_icon

18:54 Uhr, 11.11.2012

Ich sehe grade dass ich statt SUP immer das zeichen hier habe

\supset!

Tut mir leid!

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