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Limes berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Äquivalenzumformung, Differenzialrechnung

Siffkroete aktiv_icon

17:12 Uhr, 30.07.2016

Hi Leute

Immer wieder quälen mich Fragen auf die ich eigentlich schon längst eine Antwort wissen müsste.
Wie berechnet man

d \frac{x^{2}}{d x}

für zum Beispiel

x_{0} = 2

d \frac{x^{2}}{{d x}_{x}} = lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = lim_{x \to 2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x - 2}) = lim_{x \to 2} (x + 2) = 4

.
Aber von

x^{2} - 4

(x - 2) (x + 2)

ist ja keine Äquivalenzumformung,

d . h

. das Ganze geht nicht auf oder? Ich meine das Kürzen mit

(x - 2)

ist ja nicht erlaubt da

(x - 2) = 0

werden kann oder?
Man könnte ja argumentieren, dass

x

ja nie

x_{0}

bzw. hier 2 zu werden braucht da für einen Grenzwert einer Funktion

x

nie

x_{0}

wird oder zu werden braucht. Aber diese Funktion ist ja differenzierbar also auch stetig und dann muss die Funktion auch den Wert

x_{0}

annehmen weil eine stetige Funktion für alle Folgen

x_{n}

die gegen

x_{0}

konvergieren folgendes erfüllen muss:

lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (lim_{n \to \infty} x_{n}) = f (x_{0})

also kann

x = x_{0}

werden und die Kürzung oben ist ungültig. Wo liegt der Denkfehler?
Äquivalenzumformungen quälen mich immer wieder ganz besonders. Ich kriege echt Depressionen. Vielleicht sollte ich ein depressiveres Profilbild erstellen als Ausdruck meines Empfindens!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

michaL aktiv_icon

17:28 Uhr, 30.07.2016

Hallo,

> Aber von

x^{2} - 4

(x - 2) (x + 2)

ist ja keine Äquivalenzumformung[...].

Doch. Die Terme sind für alle

x

wertgleich (Klasse 8 oder mit Distributivgesetz), d.h. äquivalent. Und die Umwandlung eines Termes in einen äquivalenten ist eine Äquivalenzumformung.

> Kürzen mit (x−2) ist ja nicht erlaubt da (x−2)=0 werden kann oder?

Nein, in dem Fall ist

x = 2

ausgeschlossen, da der Term

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

dann nicht definiert wäre. Der Nenner wäre Null und das darf er halt nicht sein.

> Wo liegt der Denkfehler?

Tja, es geht um die Grundlage der Differentialrechnung.
Ausgangspunkt war/ist ja (wahrscheinlich), die Steigung des Grpahen zu

x \mapsto x^{2}

im Punkte

(2 ∣ 2^{2})

zu bestimmen.
Und da es dafür keine naheliegendere Methode gibt, schaut man sich eben an, wie sich der Term der Druchschnittssteigungen

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

"entwickelt". Er ist zwar für

x = 2

nicht definiert (siehe Antwort 2), aber (als Funktion gedacht) stetig durch 4 ergänzbar.
Und das sieht man eben auf die in deinem posting stehende Weise:

\frac{d x^{2}}{d x} ∣_{x = 2} = lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{(x + 2) (x - 2)}{x - 2} = lim_{x \to 2} (x + 2) = 4

Also verhalten sich

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

und

x + 2

ÜBERALL (außer für

x = 2

) gleich (sind also dort äquivalent). Der Durchlauf durch

(2 ∣ 4)

kann bei

x \mapsto \frac{x^{2} - 4}{x + 2}

also problemlos ergänzt werden. Damit erscheint es sinnvoll, als Grenzwert der Sekantensteigungen einerseits den Wert 4 und andererseits die Tangentensteigung anzunehmen.

Mfg Michael

Siffkroete aktiv_icon

17:44 Uhr, 30.07.2016

Also habe ich das richtig verstanden: Kürzen ist erlaubt weil

x

nie 2 wird?
Und wenn man den Term stetig ergänzen muss um eine Ableitung zu bilden heißt das, dass man eine Ableitung formal gar nicht herleiten kann ohne stetige Ergänzung?

Atlantik aktiv_icon

18:38 Uhr, 30.07.2016

Der Weg müsste doch auch erlaubt sein:

f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

f

(x) = \frac{2 x \cdot (x - 2) - (x^{2} - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 4}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}

Mit l´Hospital

: f

(2) = lim_{x \to 2} \frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} \to lim_{x \to 2} \frac{2 x}{2 x} \to lim_{x \to 2} \frac{x}{x} = \frac{1}{1} = 1

Mit Kürzen ist aus

f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

eine Gerade mit

m = 1

geworden

mfG

Atlantik

Siffkroete aktiv_icon

19:10 Uhr, 30.07.2016

Ich verstehe das nicht wie kommen Sie darauf?

ledum aktiv_icon

19:50 Uhr, 30.07.2016

Hallo Siffkroete
vergiss den Beitrag von Atllantik.
vielleicht noch zusätzlich zu Michael

lim_{x \to 2}

heisst ja nicht du sollst 2 einsetzen, nur Werte beliebig nahe bei 2 und wenn du in dem Bruch

2,001

oder

1,999

einsett ist dir klar, dass du kürzen darfst, wenn du

2,

1Million Nullen dann 1 einsetzt auch
stat 1 Million auch jede noch viel größere Nullenzahl. wenn das also für jede Zahl die beliebig nahe bei 1 liegt gilt, dann sagt man es gilt auch im Grenzwert, so ist

lim

definiert.
Hallo Atlantik,
du suchst eine Ableitung von

x^{2}!

Dann benutzt du die eher schwierigere Ableitung von

{(x - 2)}^{2}

für L'Hopital? Das ist nicht sehr sinnig, Dazukommt, dass man allerhand über die Ableitung wissen muss um L'Hopital anzuwenden:
dazu kommt noch dass für deine fkt die Ableitung gar nicht gesucht ist! du hast mit Quotientenregel die fkt

x + 2

für

x \neq 0

abgeleitet. dazu gehört:

1,

Quoteintenregel herleiten! 2. L'Hopital beweisen

, 3

. einen Funktionswert deiner fkt bei

x = 2

definieren und zeigen dass damit

f

stetig und differenzierter ist.
ausserdem war die eigentliche Frage warum man durch

x - 4 = 0

kürzen kann.
Gruß ledum

Siffkroete aktiv_icon

08:13 Uhr, 31.07.2016

Merci!

Siffkroete aktiv_icon

14:43 Uhr, 31.07.2016

. .

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