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Limes cosinus durch x

Schüler

Tags: lim

clara aktiv_icon

16:56 Uhr, 25.01.2011

Hallo!
Wir haben im Unterricht folgendes zu dem Beispiel "Berechnen Sie den Grenzwert

lim [x \to - \infty] \frac{cos (x)}{x}

" aufgeschrieben:

\Rightarrow 0

≤|

\frac{cos (x)}{x} |

≤

\frac{| cos (x) |}{| x |}

≤

\frac{1}{| x |}

\Rightarrow lim [x \to - \infty] | \frac{cos (x)}{x} |

≤ 0 UND

lim [x \to - \infty] | \frac{cos (x)}{x} |

≥ 0

\Rightarrow lim [x \to - \infty] \frac{cos (x)}{x} = 0

Leider kann ich mich nicht mehr erinnern, was damit jetzt genau gemeint ist. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

artiiK aktiv_icon

16:58 Uhr, 25.01.2011

Mit dem Ergebnis? Das heißt, dass wenn

x

sehr sehr kleine werte annimt ( gegen unendlich geht ) der graph der funktion im -unendlichen gegen den y-wert 0 geht.

artiiK aktiv_icon

17:02 Uhr, 25.01.2011

genauer gesagt: der graph divergiert im unendlich unbestimmt.. wie aus den beiden vorletzten zeilen deiner rechnung deutlich wird, wechselt die Funktion stets - und

+

werte ( so wie die kosinusfunktion selbst ) aber nach minus unendlich wirds immer flacher...oder anders gesprochen... die amplitude der wellen nimmt ab und existiert dann im unendlichen praktisch nicht mehr, weswegen der grenzwert 0 ist.

clara aktiv_icon

17:24 Uhr, 25.01.2011

okay, das muss ich also einfach für dieses konkrete beispiel wissen oder? das kann man nicht irgendwie ausrechnen...und wäre es für

lim [x \to + \infty]

das gleiche?

artiiK aktiv_icon

19:42 Uhr, 26.01.2011

Doch klar kannst du das wissen.. siehe deine vorletzte zeile.... der grenzwert kommt wechselt von

> 0

bis

< 0 ...

. im (+)-unendlichen verhält sich der graph auch so, ja...

ElRon91 aktiv_icon

20:18 Uhr, 26.01.2011

Hallo,

Hier ist eine vielleicht etwas einfachere Version von der die du hast:

$0 \leq | \frac{\cos (x)}{x} | \leq \frac{1}{| x |} \Rightarrow \lim_{x \to - \infty} 0 \leq \lim_{x \to - \infty} | \frac{\cos (x)}{x} | \leq \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{| x |} \Rightarrow 0 \leq \lim_{x \to - \infty} | \frac{\cos (x)}{x} | \leq 0 \Rightarrow \lim_{x \to - \infty} | \frac{\cos (x)}{x} | = 0$

Die Idee hier ist, dass man eine Funktion findet 1/x die immer größer ist als die gesuchte Funktion und eine Funktion die immer kleiner ist als die gesuchte Funktion hier 0. Es folgt jetzt, dass der Gesuchte Grenzwert zwischen dem Grenzwert von der größeren und kleineren Funktion ist. Da der Grenzwert von 1/x gleich dem Grenzwert von der 0 Funktion ist folgt, dass auch der Grenzwert von cos(x)/x gleich sein muss: also 0.

Hoffentlich hat das etwas geholfen.

Liebe Grüße

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