Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Limes mit Summenzeichen

Limes mit Summenzeichen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Julian93 aktiv_icon

15:15 Uhr, 20.04.2016

Hallo,

zu zeigen ist:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{p + 1}} \sum_{k = 1}^{n} k^{p} = \frac{1}{p + 1}, p \in ℕ

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} sin (k \cdot \frac{π}{n}) = \frac{2}{π}

Ich habe hier bisher weder für die eine noch für die andere Gleichungen einen wirklichen Ansatz. Da die Lösungen schon morgen fällig sind, wäre ich sehr dankbar, wenn mich jemand (zumindest bei einer der beiden Aufgaben) bereits in die richtige Richtung schubsen kann. :-)

Liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

DrBoogie aktiv_icon

16:07 Uhr, 20.04.2016

Es lässt sich beweisen, dass

\sum_{k = 1}^{n} k^{p} = \frac{n^{p + 1}}{p + 1} + . . .

(kleinere Potenzen). Siehe hier: www.matheboard.de/thread.php?postid=61458#post61458
Aber der Beweis ist nicht einfach.

Julian93 aktiv_icon

16:26 Uhr, 20.04.2016

Okay, da steige ich nicht durch, bringt glaube ich nichts. :-D)

Trotzdem danke!

DrBoogie aktiv_icon

16:38 Uhr, 20.04.2016

Ok, eine einfachere Idee.

lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k = 1}^{n} k^{p}}{n^{p + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} (\frac{k}{n})^{p} = \int_{0}^{1} x^{p} d x

, einfach nach der Definition des Integrals. Denn die Summe ist nichts anderes als eine Riemannsche Summe.

Genauso geht es auch für die 2. Aufgabe. Da kommt