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Lineare Abhängigkeit von Vektoren, Aufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gleichungssystem, matriz, Parameter

ferrisvfx aktiv_icon

03:18 Uhr, 09.01.2021

Sitze schon nh längere Zeit an der
Aufgabe und bin langsam am verzweifeln.
Hab vieles probiert, doch kam nicht wirklich zu ner Lösung.
Würde mich freuen, wenn jemand ein einfachen Lösungsweg parat hat.
(Die Aufgabe seht ihr auf dem Bild)

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

N8eule

09:08 Uhr, 09.01.2021

Hallo
Ich wollte empfehlen, einen beliebigen Vektor

v = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

als Linearkombination der drei Vektoren

v_{1} - v_{3}

darzustellen.
Erstens, wirst du das für die zweite Teilaufgabe eh nutzen und gebrauchen können,
zweitens wirst du aus dem formalen Zusammenhang auch die Bedingung "keine Basis" lesen können.

Ansatz:

v = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = λ_{1} \cdot v_{1} + λ_{2} \cdot v_{2} + λ_{3} \cdot v_{3}

Willst du mal so weit zeigen...?

Mathe45

10:52 Uhr, 09.01.2021

Wenn man die einzelnen Terme etwas umformt, dann kann man die Determinante der Matrix sehr leicht bestimmen.

(\begin{matrix} - 3 \cdot (a + 1) & (a - 3) & 17 \\ (a + 1) & 1 & - 4 \\ - (a + 1) & - (a + 1) & (a - 2) \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} (a + 1) & 1 & - 4 \\ - (a + 1) & - (a + 1) & (a - 2) \\ - 3 \cdot (a + 1) & (a - 3) & 17 \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} (a + 1) & 1 & - 4 \\ 0 & - a & (a - 6) \\ 0 & a & 5 \end{matrix}) ~

~ (\begin{matrix} (a + 1) & 1 & - 4 \\ 0 & - a & (a - 6) \\ 0 & 0 & (a - 1) \end{matrix}) \Rightarrow D = a - a^{3}

Jetzt läßt sich leicht bestimmen, für welche Werte von a die Determinante

= 0

bzw.

\neq 0

ist.
Ebenso leicht läßt sich die erweiterte Systemmatrix bearbeiten.

(\begin{matrix} - 3 \cdot (a + 1) & (a - 3) & 17 & (10 \cdot a - 28) \\ (a + 1) & 1 & - 4 & (6 - 3 \cdot a) \\ - (a + 1) & - (a + 1) & (a - 2) & 6 \end{matrix}) ~ . .

~ (\begin{matrix} a + 1 & 1 & - 4 & 6 - 3 \cdot a \\ 0 & - a & a - 6 & 12 - 3 \cdot a \\ 0 & 0 & a - 1 & 2 - 2 \cdot a \end{matrix})

\Rightarrow λ_{3} = - 2

( für

a \neq 1)

λ_{1} = . .

λ_{2} = . .

.

( Eventuelle Tippfehler finden und ausbessern. )

ferrisvfx aktiv_icon

14:20 Uhr, 09.01.2021

ah vielen Dank. den oberen Teil hab ich verstanden, aber wie bist du auf die erweiterte Systemmatrix gekommen und wozu ist die da?

ferrisvfx aktiv_icon

14:26 Uhr, 09.01.2021

Danke für deinen Ansatz :-). Diesen hab ich schonmal probiert, bin aber leider nicht sehr weit gekommen. Auf dem Bild, hab ich das Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix gebracht.
Gestern hab ich das auch schon gemacht und in Zeilenstufenform gebracht. Wusste jedoch danach nicht, wie ich wirklich die Lösung herrausfinde, beziehungsweise, haben meine Lösungen danach nicht gestimmt.