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Lineare Gleichungssysteme, Parameteraufgabe

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Lineares Gleichungssystem, Parameter

 
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Honigbiene17

Honigbiene17 aktiv_icon

22:05 Uhr, 27.03.2013

Antworten
Hallo erstmal :-)

Weiß jemand wie ich diese Aufgabe richtig rechne?
Aufgabe: Für welche Werte des Parameters a E R liegt eindeutige Lösbarkeit vor?

a) 2x-5y= 9
4x+ay=5
Hier habe ich nach y aufgelöst und y=-13/10a rausbekommen.

b) 3x+4y=7
2x-6y=a+12
Hier habe ich für y= - (3a+22/26)

bei c und d weiß ich erst garnicht wie ich anfangen soll.

c) ax+2y=5
8x+ay=10

d) ax-2y=a
2x-ay=2

Wie bestimme ich jetzt wo eindeutige Lösbarkeit vorliegt und wo nicht? Danke für eure Hilfe. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
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22:17 Uhr, 27.03.2013

Antworten
Vorerst zum ersten Beispiel:
Da es zwei Unbekannte gibt, müssen auch 2 Werte errechnet werden.
Also x=...
und
y=...
Dein y-Wert kann nicht stimmen, bitte nachrechnen.
Honigbiene17

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22:30 Uhr, 27.03.2013

Antworten
hmm..wenn ich 2x-5y=9 mit -2 multipliziere kommt -4x+10y=-18 raus und wenn ich das dann mit 4x+ay=5 addiere kommt 10ay=-13 raus, beides dann durch 10a geteilt ergibt y=-13/10a. Was ist mein Fehler?
Antwort
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22:34 Uhr, 27.03.2013

Antworten
"hmm..wenn ich 2x-5y=9 mit -2 multipliziere kommt -4x+10y=-18 raus und wenn ich das dann mit 4x+ay=5 addiere kommt 10ay=-13 raus, beides dann durch 10a geteilt ergibt y=-1310a. Was ist mein Fehler? "

-4x+10y=-18
4x+ay=5

Nun beide Gleichungen addieren ergibt

10y+ay=-13

Bei 10y+ay liegt dein Fehler
Honigbiene17

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22:43 Uhr, 27.03.2013

Antworten
ah stimmt. Weiter zusammenfassen kann man das dann nicht oder?
Für x bekomme ich dann: 2ax+20x=9a+25. Das kann ich auch nicht mehr zusammenfassen?
Also ist liegt keine eindeutige Lösbarkeit vor?
Antwort
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22:48 Uhr, 27.03.2013

Antworten
"ah stimmt. Weiter zusammenfassen kann man das dann nicht oder?
Für x bekomme ich dann: 2ax+20x=9a+25. Das kann ich auch nicht mehr zusammenfassen?
Also ist liegt keine eindeutige Lösbarkeit vor? "

Nein, so kann man das nicht sehen. Gefragt ist ja danach, für welche Werte des Parameters a eine eindeutige Lösung vorliegt.
Man kann die Terme für x und y noch vereinfachen und erhält dann
x=9a+252a+20
y=-13a+10

Und jetzt überlegt man sich, für welche Werte von a diese Terme eindeutig sind.
Honigbiene17

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22:56 Uhr, 27.03.2013

Antworten
Kann man x nicht noch mehr vereinfachen: 4,5a+5/4 ?
Und das mit der Eindeutigkeit verstehe ich nicht richtig. Wann ist denn a eindeutig und wann nicht? Wie ist das gemeint? Danke :-)
Antwort
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23:01 Uhr, 27.03.2013

Antworten
"Kann man x nicht noch mehr vereinfachen: 4,5a+54 ?"
Nein, das wäre falsch.
x=9a+252a+20
und
y=-13a+10

In beiden Fällen haben wir einen Bruch. Wann ist ein Bruch in der Mathematik "erlaubt", wann ist er "verboten".
Oder anders ausgedrückt: Für welche Werte des Zählers und des Nenners ist ein Bruch "definiert"?
Honigbiene17

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23:09 Uhr, 27.03.2013

Antworten
Also zum einen warum genau wäre das falsch? Und zum anderen also so ganz klar wurde mir das nicht. Ich verstehe nicht wieso ein Bruch nicht erlaubt sein sollte: Wenn ich z.B a=2 wähle würde für x=43/24 und für y= -13/22 rauskommen. Warum sollte das nicht gehen? Oder anders gefragt: kannst du mir ein Beispiel geben wann ein Bruch "nicht erlaubt" ist in der Mathematik? Dankeschön^^
Antwort
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23:14 Uhr, 27.03.2013

Antworten
Jetzt sind wir bei den grundlegenden Regeln des Bruchrechnens.
x=9a+252a+20
Der Wert eines Bruches bleibt unverändert, wenn ich Zähler UND Nenner durch die gleiche Zahl dividiere ODER mit der gleichen Zahl multipliziere. Auf dein oben genanntes Ergebnis kann man daher nicht kommen.

Zum Wert eines Bruches:
Berechne einmal ( mit dem Taschenrechner ) folgende Brüche
05,50,00

Welche Ergebnis bekommt man?
Honigbiene17

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23:25 Uhr, 27.03.2013

Antworten
für das erste 0 und für die anderen beiden kein Ergebnis, weil man durch 0 nicht dividieren darf.
Antwort
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23:27 Uhr, 27.03.2013

Antworten
So ist es.
Und jetzt muss man nur noch überprüfen, für welchen Zahlenwert von a jeweils der Nenner in
x=9a+252a+20
bzw.
y=-13a+10

zu 0 wird.

Honigbiene17

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23:30 Uhr, 27.03.2013

Antworten
also darf a nicht -10 sein. Heißt es dann, dass bei a=-10 es keine eindeutige Lösbarkeit gibt und bei allen anderen Werten für a schon?
Antwort
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23:34 Uhr, 27.03.2013

Antworten
Das ist korrekt.

( Wenn wir ganz genau sein wollen, müssen wir auch den Fall ausschließen, dass Zähler UND Nenner für ein bestimmtes a gleich 0 werden. Für a=-10 ist aber jeweils der Zähler 0  kein Problem )
Honigbiene17

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00:01 Uhr, 28.03.2013

Antworten
bei b bekomme ich für y= - 3a+22/26 und für x= a+22,5/ 6,5
Also kann der Nenner überhaupt nicht 0 werden. Bedeutet das es gibt hier in jedem Fall eine eindeutige Lösbarkeit?
Antwort
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00:06 Uhr, 28.03.2013

Antworten
y=-3a-2226
Vorzeichen !

Mache bitte eine Klammer bei den Brüchen ( siehe "Wie schreibe ich Formeln" )

Sonst: Richtige Überlegung.
Honigbiene17

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00:19 Uhr, 28.03.2013

Antworten
bei c habe ich für y= 10a-40 / a²-16 und für x= 5a-20/a²-16
Also darf a nicht 4 sein sonst kommt sowohl für x als auch für y = 0/0 raus.
Stimmt das? Ich habe Klammern gemacht aber es wird trotzdem nicht als Bruch geschrieben.
Antwort
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00:24 Uhr, 28.03.2013

Antworten
Vermutlich meinst du
x=5a-20a2-16
und
y=10a-40a2-16

a4 ist richtig, es gibt aber noch eine andere Möglichkeit. Für welchen Wert für a wird a2-16 ebenfalls 0 ?

Schreibweise "x=(5*a-20)/(a^2-16)" ( ohne Anführungsstriche )
Honigbiene17

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00:33 Uhr, 28.03.2013

Antworten
für -4. Ich habe da noch eine Frage ist y=-3a-22/26 das gleiche wie - (3a+22/26)?
Antwort
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00:37 Uhr, 28.03.2013

Antworten

a-4 ist korrekt

y=-3a-2226=-(3a+22)26  es kommt auf die Klammer an
Honigbiene17

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00:43 Uhr, 28.03.2013

Antworten
danke :-) bei d habe ich für y=0 und für x= Wurzel aus a²-4/x-4x
Also gibt es in jedem Fall eine Lösung. Stimmen diese Ergebnisse überhaupt? Habe das Gefühl dass d falsch ist.
Antwort
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00:47 Uhr, 28.03.2013

Antworten
Also das mit der Wurzel bei x kann nicht stimmen.

Aber vorerst: Für welche Werte für a erhalten wir keine Lösungen ?
Honigbiene17

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00:51 Uhr, 28.03.2013

Antworten
bei d gibt es doch immer eine Lösung oder? Aber du sagtest ja schon dass meine Ergebnisse falsch sind. Ich rechne das nochmal nach.
Antwort
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00:52 Uhr, 28.03.2013

Antworten
Nein, auch bei d) gibt es zwei "verbotene" Werte für a.
Honigbiene17

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01:03 Uhr, 28.03.2013

Antworten
hmm...warum stimmt x nicht? Ich habe die erste Gleichung mal a genommen und die zweite mal -2 dann bekomme ich a²x-2ay=a² und -4x+2ay=-4 raus wenn ich das addiere erhalte ich a²x-4x=a²-4 nach a² umgestellt ist das dann a²= a²-4/x-4x um a zu bekommen muss ich doch dann auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Was ist mein Fehler? Und stimmt y auch nicht? Danke schonmal^^
Antwort
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01:11 Uhr, 28.03.2013

Antworten
Offensichtlich willst du die Eliminationsmethode anwenden.
ax-2y=a  | a
2x-ay=2   | (-2)

--------------------------

a2x-2ay=a2
-4x+2ay=-4
a2x-4x=a2-4
x(a2-4)=a2-4
x=a2-4a2-4

Dieser Bruch ist aber nur definiert für a±2  , dann ergibt es 1.
Für a=2 oder a=-2 erhalten wir keine Lösung.

Antwort
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01:20 Uhr, 28.03.2013

Antworten
Berechnet man analog y, so erhält man
y=0a2-4
Für a±2  erhalten wir 0.
Für a=2 oder a=-2 würden wir 00 erhalten, was ebenfalls nicht definiert ist.

Es ist zwar in dieser Aufgabe nur nach der eindeutigen Lösung gefragt, grundlegend aber kann ein Gleichungssystem dieser Art drei Varianten aufweisen.

1) Es gibt genau einen Zahlenwert für x und y
2) KEIN Wert für x oder y erfüllt die Gleichungen
3) Es gibt unendlich viele Lösungszahlen für x und y
Honigbiene17

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01:48 Uhr, 28.03.2013

Antworten
also d habe ich jetzt verstanden. Aber muss es bei c) für x= 5a-20/16-a² und für y= 10a-40/16-a² heißen? Also Vorzeichenwechsel im Nenner? Mir ist aufgefallen, dass ich das vorher nicht gemacht habe.
Antwort
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01:55 Uhr, 28.03.2013

Antworten
Bei c) lauten die entsprechenden Terme
x=5a-20a2-16  oder x=20-5a16-a2
y=10a-40a2-16  oder y=40-10a16-a2
Frage beantwortet
Honigbiene17

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11:30 Uhr, 28.03.2013

Antworten
Stimmt...die Vorzeichen hatten mich verwirrt. Aber es kommt am Ende ja doch das selbe raus. Vielen vielen Dank für deine Hilfe! :-) :-)
Antwort
MikeyOl

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11:34 Uhr, 26.03.2020

Antworten

Hallo, ich habe gerade zufällig die selben Aufgaben zu erledigen. Ich bin auch ganz gut klar gekommen, doch bei c) komme ich nicht weiter. Ich habe bei x das richtige raus. Ich komme bei y aber auf kein bzw nicht das richtige Ergebnis. Ich weiß es ist lange her aber könnte mir jemand helfen und zeigen wie ich auf y komme.
Ich würde mich auf eine Antwort freuen.
Antwort
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11:44 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Welche Methode hast du bei c) angewendet bzw. wie sieht dein Ergebnis aus ?
Antwort
MikeyOl

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12:03 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Erstmal danke für deine Antwort! :-)
Ich habe die erste Gleichung umgeformt zu:

y= 2,5-0,5ax

Das habe ich dann in die zweite Gleichung eingesetzt und nach x aufgelöst.

x=20-5a16-a2

Ab hier komme ich nicht weiter:(
Antwort
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12:09 Uhr, 26.03.2020

Antworten
y=2,5-0,5ax
x=20-5a16-a2

Setze nun den Term für x in die obere Gleichung ein.
y=2,5-0,5a(20-5a)16-a2
und forme den rechtsseitigen Term um.
Antwort
MikeyOl

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12:29 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Stimmt:

y=2,5-10a-2,5a216-a2

?


Wie vereinfacht man das denn weiter?
Antwort
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12:40 Uhr, 26.03.2020

Antworten
y=2,5-10a-2,5a216-a2=2,5(16-a2)-2,5(4a-a2)16-a2=

=2,5(16-a2-4a+a2)16-a2=

=2,54(4-a)16-a2=10(4-a)16-a2

... und jetzt die Interpretation bez. Lösbarkeit .
Antwort
MikeyOl

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12:56 Uhr, 26.03.2020

Antworten
a darf nicht 4 oder -4 sein....
Aber ich verstehe nicht wie du von

y=2,5-10a-2,5a216-a2

auf

=2,5(16-a2)-2,5(4a-a2)16-a2

kommst.

Könntest du mir das bitte noch erklären:-)

Danke für deine hilfe!!
Antwort
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13:01 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Ich habe auf gemeinsamen Nenner gebracht und 10a-2,5a2 durch Ausklammern zu 2,5(4a-a2) umgeformt.
Anschließend habe ich aus dem gesamten Zähler 2,5 ausgeklammert, den verbleibenden Term reduziert und nochmals 4 ausgeklammert.
... aber du kannst natürlich auch anders rechnen.

Fehlt noch die Begründung für deine Behauptung +4 bzw. -4
Antwort
MikeyOl

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13:06 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Ich habs verstanden! :-)
Dankeschön!!!
Also a ist ungleich 4 bzw. -4 weil sonst im Nenner 0 steht. Richtig so?
Echt vielen vielen dank!!
Antwort
Respon

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13:08 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Was wäre, wenn für einen Wert für a sowohl im Zähler als auch im Nenner 0 steht?
Antwort
MikeyOl

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13:12 Uhr, 26.03.2020

Antworten
00 ist nicht definiert.
Richtig?
Antwort
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13:12 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Und was bedeutet das bez. der Lösbarkeit des Gleichungssystems ?
Antwort
MikeyOl

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13:21 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Das Geichungssystem ist lösbar für a Element von Reellen Zahlen, außer bei a=4 bzw. a=-4. Wenn a=4 bzw. a=-4 ist es undefiniert.

So?!
Antwort
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13:23 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Lösbarkeiten eines LGS können sein:
genau eine Lösung
keine Lösung
UND ...

( Der Begriff "nicht definiert" taucht hier nicht auf. )
Antwort
MikeyOl

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13:27 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Es gibt eine, keine oder unendlich viele Lösbarkeiten.
In diesem falle unendlich viele.
Antwort
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13:29 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Kannst du das für a=4 auch kurz beweisen?
Antwort
MikeyOl

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13:37 Uhr, 26.03.2020

Antworten
x=20-5a16-a2

a=4

x=20-5416-42=20-2016-16=00

bei y

y=40-10416-42=00

Also:
Für x und y gibt es unendlich viele lösungswerte. a kann alle reellen zahlen sein, außer 4 und -4.
Antwort
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13:41 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Kannst du mir ein Lösungspaar dieser unendlich vielen Lösungen sagen.
und x=00 ist ja keine ZAHL.

Ist z.B. für a=4  x=1 und y=0,5 eine Lösung ?
Antwort
MikeyOl

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13:47 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Ich muss sagen ich bin etwas verwirrt.
Wenn man das in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt stimmt es.

41+20,5=5

und

81+40,5=10

Aber hatten wir nicht als Ergebnis das a nicht 4 sein kann?

Antwort
Respon

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13:51 Uhr, 26.03.2020

Antworten
x=1 und y=0,5 war ja nur EINE von unendlich vielen möglichen Lösungen.
Auch x=-1 und y=4,5 wäre eine Löung usw.
Die Frage war ja, warum das bei a=4 so ist.
Für a=4 haben wir folgendes LGS
4x+2y=5
8x+4y=10

Wie kann man da vorgehen ?
Antwort
MikeyOl

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13:59 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Ich verstehe es immer noch nicht ganz aber...
Wenn a=4 ist ist die zweite genau das doppelte von der ersten Gleichung.
Bei -4 ist das nicht so
Antwort
Respon

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14:02 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Die Lösungsmenge einer Gleichung bleibt unverändert, wenn ich beide Seiten der Gleichung durch die gleiche Zahl (0) dividiere.
Ich dividiere die zweite Gleichung durch 2 und erhalte folgendes LGS

4x+2y=5
4x+2y=5

"de facto" habe ich nur eine Gleichung ( aber zweimal hingeschrieben ).

Wie finde ich die Lösungsmenge von 4x+2y=5 ?
Antwort
MikeyOl

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14:11 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Man kann keine Lösungsmenge herausfinden wenn man 1 gleichung und 2 variablen hat.
Deshalb kann x und y alles sein oder nicht?
Antwort
Respon

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14:18 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Nein, nicht alles !
x=2 und y=1 ist KEIN Lösungspaar.

Hier geht man so vor:
Man wählt z.B. für x eine beliebige reelle Zahl, setzt in die Gleichung ein und bestimmt das dazugehörige y.
z.B.
x=3y=-3,5
x=2y=-1,5
usw.
Auf diese Weise kannst du beliebig viele Lösungspaare bestimmen.



Noch eine Bemerkung zu "nicht definiert"
b0 ist nicht definiert für b0
00 ist ein "unbestimmter Ausdruck" und kann je nach Gegebenheiten sehr wohl eine konkrete Zahl sein.
siehe
de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_(Mathematik)#Definition

Muss offline gehen !


Antwort
MikeyOl

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14:20 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Alles klar!

Vielen dank für deine hilfe!!!!!!