|
---|
Hallo erstmal :-) Weiß jemand wie ich diese Aufgabe richtig rechne? Aufgabe: Für welche Werte des Parameters a E R liegt eindeutige Lösbarkeit vor? a) 2x-5y= 9 4x+ay=5 Hier habe ich nach y aufgelöst und y=-13/10a rausbekommen. b) 3x+4y=7 2x-6y=a+12 Hier habe ich für y= - (3a+22/26) bei c und d weiß ich erst garnicht wie ich anfangen soll. c) ax+2y=5 8x+ay=10 d) ax-2y=a 2x-ay=2 Wie bestimme ich jetzt wo eindeutige Lösbarkeit vorliegt und wo nicht? Danke für eure Hilfe. :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
Vorerst zum ersten Beispiel: Da es zwei Unbekannte gibt, müssen auch 2 Werte errechnet werden. Also . und . Dein y-Wert kann nicht stimmen, bitte nachrechnen. |
|
hmm..wenn ich 2x-5y=9 mit -2 multipliziere kommt -4x+10y=-18 raus und wenn ich das dann mit 4x+ay=5 addiere kommt 10ay=-13 raus, beides dann durch 10a geteilt ergibt y=-13/10a. Was ist mein Fehler? |
|
"hmm..wenn ich mit multipliziere kommt raus und wenn ich das dann mit 4x+ay=5 addiere kommt 10ay=-13 raus, beides dann durch geteilt ergibt . Was ist mein Fehler? " Nun beide Gleichungen addieren ergibt Bei liegt dein Fehler |
|
ah stimmt. Weiter zusammenfassen kann man das dann nicht oder? Für x bekomme ich dann: 2ax+20x=9a+25. Das kann ich auch nicht mehr zusammenfassen? Also ist liegt keine eindeutige Lösbarkeit vor? |
|
"ah stimmt. Weiter zusammenfassen kann man das dann nicht oder? Für bekomme ich dann: 2ax+20x=9a+25. Das kann ich auch nicht mehr zusammenfassen? Also ist liegt keine eindeutige Lösbarkeit vor? " Nein, so kann man das nicht sehen. Gefragt ist ja danach, für welche Werte des Parameters a eine eindeutige Lösung vorliegt. Man kann die Terme für und noch vereinfachen und erhält dann Und jetzt überlegt man sich, für welche Werte von a diese Terme eindeutig sind. |
|
Kann man x nicht noch mehr vereinfachen: 4,5a+5/4 ? Und das mit der Eindeutigkeit verstehe ich nicht richtig. Wann ist denn a eindeutig und wann nicht? Wie ist das gemeint? Danke :-) |
|
"Kann man nicht noch mehr vereinfachen: ?" Nein, das wäre falsch. und In beiden Fällen haben wir einen Bruch. Wann ist ein Bruch in der Mathematik "erlaubt", wann ist er "verboten". Oder anders ausgedrückt: Für welche Werte des Zählers und des Nenners ist ein Bruch "definiert"? |
|
Also zum einen warum genau wäre das falsch? Und zum anderen also so ganz klar wurde mir das nicht. Ich verstehe nicht wieso ein Bruch nicht erlaubt sein sollte: Wenn ich z.B a=2 wähle würde für x=43/24 und für y= -13/22 rauskommen. Warum sollte das nicht gehen? Oder anders gefragt: kannst du mir ein Beispiel geben wann ein Bruch "nicht erlaubt" ist in der Mathematik? Dankeschön^^ |
|
Jetzt sind wir bei den grundlegenden Regeln des Bruchrechnens. Der Wert eines Bruches bleibt unverändert, wenn ich Zähler UND Nenner durch die gleiche Zahl dividiere ODER mit der gleichen Zahl multipliziere. Auf dein oben genanntes Ergebnis kann man daher nicht kommen. Zum Wert eines Bruches: Berechne einmal ( mit dem Taschenrechner ) folgende Brüche Welche Ergebnis bekommt man? |
|
für das erste 0 und für die anderen beiden kein Ergebnis, weil man durch 0 nicht dividieren darf. |
|
So ist es. Und jetzt muss man nur noch überprüfen, für welchen Zahlenwert von a jeweils der Nenner in bzw. zu 0 wird. |
|
also darf a nicht -10 sein. Heißt es dann, dass bei a=-10 es keine eindeutige Lösbarkeit gibt und bei allen anderen Werten für a schon? |
|
Das ist korrekt. ( Wenn wir ganz genau sein wollen, müssen wir auch den Fall ausschließen, dass Zähler UND Nenner für ein bestimmtes a gleich 0 werden. Für ist aber jeweils der Zähler kein Problem ) |
|
bei b bekomme ich für y= - 3a+22/26 und für x= a+22,5/ 6,5 Also kann der Nenner überhaupt nicht 0 werden. Bedeutet das es gibt hier in jedem Fall eine eindeutige Lösbarkeit? |
|
Vorzeichen ! Mache bitte eine Klammer bei den Brüchen ( siehe "Wie schreibe ich Formeln" ) Sonst: Richtige Überlegung. |
|
bei c habe ich für y= 10a-40 / a²-16 und für x= 5a-20/a²-16 Also darf a nicht 4 sein sonst kommt sowohl für x als auch für y = 0/0 raus. Stimmt das? Ich habe Klammern gemacht aber es wird trotzdem nicht als Bruch geschrieben. |
|
Vermutlich meinst du und ist richtig, es gibt aber noch eine andere Möglichkeit. Für welchen Wert für a wird ebenfalls 0 ? Schreibweise "x=(5*a-20)/(a^2-16)" ( ohne Anführungsstriche ) |
|
für -4. Ich habe da noch eine Frage ist y=-3a-22/26 das gleiche wie - (3a+22/26)? |
|
ist korrekt es kommt auf die Klammer an |
|
danke :-) bei d habe ich für y=0 und für x= Wurzel aus a²-4/x-4x Also gibt es in jedem Fall eine Lösung. Stimmen diese Ergebnisse überhaupt? Habe das Gefühl dass d falsch ist. |
|
Also das mit der Wurzel bei kann nicht stimmen. Aber vorerst: Für welche Werte für a erhalten wir keine Lösungen ? |
|
bei d gibt es doch immer eine Lösung oder? Aber du sagtest ja schon dass meine Ergebnisse falsch sind. Ich rechne das nochmal nach. |
|
Nein, auch bei gibt es zwei "verbotene" Werte für . |
|
hmm...warum stimmt x nicht? Ich habe die erste Gleichung mal a genommen und die zweite mal -2 dann bekomme ich a²x-2ay=a² und -4x+2ay=-4 raus wenn ich das addiere erhalte ich a²x-4x=a²-4 nach a² umgestellt ist das dann a²= a²-4/x-4x um a zu bekommen muss ich doch dann auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Was ist mein Fehler? Und stimmt y auch nicht? Danke schonmal^^ |
|
Offensichtlich willst du die Eliminationsmethode anwenden. Dieser Bruch ist aber nur definiert für , dann ergibt es 1. Für oder erhalten wir keine Lösung. |
|
Berechnet man analog so erhält man Für erhalten wir 0. Für oder würden wir erhalten, was ebenfalls nicht definiert ist. Es ist zwar in dieser Aufgabe nur nach der eindeutigen Lösung gefragt, grundlegend aber kann ein Gleichungssystem dieser Art drei Varianten aufweisen. Es gibt genau einen Zahlenwert für und KEIN Wert für oder erfüllt die Gleichungen Es gibt unendlich viele Lösungszahlen für und |
|
also d habe ich jetzt verstanden. Aber muss es bei c) für x= 5a-20/16-a² und für y= 10a-40/16-a² heißen? Also Vorzeichenwechsel im Nenner? Mir ist aufgefallen, dass ich das vorher nicht gemacht habe. |
|
Bei lauten die entsprechenden Terme oder oder |
|
Stimmt...die Vorzeichen hatten mich verwirrt. Aber es kommt am Ende ja doch das selbe raus. Vielen vielen Dank für deine Hilfe! :-) :-) |
|
Hallo, ich habe gerade zufällig die selben Aufgaben zu erledigen. Ich bin auch ganz gut klar gekommen, doch bei komme ich nicht weiter. Ich habe bei das richtige raus. Ich komme bei aber auf kein bzw nicht das richtige Ergebnis. Ich weiß es ist lange her aber könnte mir jemand helfen und zeigen wie ich auf komme. Ich würde mich auf eine Antwort freuen. |
|
Welche Methode hast du bei angewendet bzw. wie sieht dein Ergebnis aus ? |
|
Erstmal danke für deine Antwort! :-) Ich habe die erste Gleichung umgeformt zu: 2,5-0,5ax Das habe ich dann in die zweite Gleichung eingesetzt und nach aufgelöst. Ab hier komme ich nicht weiter:( |
|
Setze nun den Term für in die obere Gleichung ein. und forme den rechtsseitigen Term um. |
|
Stimmt: ? Wie vereinfacht man das denn weiter? |
|
. und jetzt die Interpretation bez. Lösbarkeit . |
|
a darf nicht 4 oder sein.... Aber ich verstehe nicht wie du von auf kommst. Könntest du mir das bitte noch erklären:-) Danke für deine hilfe!! |
|
Ich habe auf gemeinsamen Nenner gebracht und durch Ausklammern zu umgeformt. Anschließend habe ich aus dem gesamten Zähler ausgeklammert, den verbleibenden Term reduziert und nochmals 4 ausgeklammert. . aber du kannst natürlich auch anders rechnen. Fehlt noch die Begründung für deine Behauptung bzw. |
|
Ich habs verstanden! :-) Dankeschön!!! Also a ist ungleich 4 bzw. weil sonst im Nenner 0 steht. Richtig so? Echt vielen vielen dank!! |
|
Was wäre, wenn für einen Wert für a sowohl im Zähler als auch im Nenner 0 steht? |
|
ist nicht definiert. Richtig? |
|
Und was bedeutet das bez. der Lösbarkeit des Gleichungssystems ? |
|
Das Geichungssystem ist lösbar für a Element von Reellen Zahlen, außer bei bzw. . Wenn bzw. ist es undefiniert. So?! |
|
Lösbarkeiten eines LGS können sein: genau eine Lösung keine Lösung UND . ( Der Begriff "nicht definiert" taucht hier nicht auf. ) |
|
Es gibt eine, keine oder unendlich viele Lösbarkeiten. In diesem falle unendlich viele. |
|
Kannst du das für auch kurz beweisen? |
|
bei Also: Für und gibt es unendlich viele lösungswerte. a kann alle reellen zahlen sein, außer 4 und . |
|
Kannst du mir ein Lösungspaar dieser unendlich vielen Lösungen sagen. und ist ja keine ZAHL. Ist . für und eine Lösung ? |
|
Ich muss sagen ich bin etwas verwirrt. Wenn man das in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt stimmt es. und Aber hatten wir nicht als Ergebnis das a nicht 4 sein kann? |
|
und war ja nur EINE von unendlich vielen möglichen Lösungen. Auch und wäre eine Löung usw. Die Frage war ja, warum das bei so ist. Für haben wir folgendes LGS Wie kann man da vorgehen ? |
|
Ich verstehe es immer noch nicht ganz aber... Wenn ist ist die zweite genau das doppelte von der ersten Gleichung. Bei ist das nicht so |
|
Die Lösungsmenge einer Gleichung bleibt unverändert, wenn ich beide Seiten der Gleichung durch die gleiche Zahl dividiere. Ich dividiere die zweite Gleichung durch 2 und erhalte folgendes LGS "de facto" habe ich nur eine Gleichung ( aber zweimal hingeschrieben ). Wie finde ich die Lösungsmenge von ? |
|
Man kann keine Lösungsmenge herausfinden wenn man 1 gleichung und 2 variablen hat. Deshalb kann und alles sein oder nicht? |
|
Nein, nicht alles ! und ist KEIN Lösungspaar. Hier geht man so vor: Man wählt . für eine beliebige reelle Zahl, setzt in die Gleichung ein und bestimmt das dazugehörige . . usw. Auf diese Weise kannst du beliebig viele Lösungspaare bestimmen. Noch eine Bemerkung zu "nicht definiert" ist nicht definiert für ist ein "unbestimmter Ausdruck" und kann je nach Gegebenheiten sehr wohl eine konkrete Zahl sein. siehe de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_(Mathematik)#Definition Muss offline gehen ! |
|
Alles klar! Vielen dank für deine hilfe!!!!!! |