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Lineare unabhängigkeit 4 Funktionen

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Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

 
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Hawaiianer

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14:44 Uhr, 05.06.2013

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Hallo,

wie zeige / widerlege ich das 4 Funktionen linear unabhängig sind?

F1=x+1
F2=x2+x-1
F3=x2+x
F4=x2-x

meine ansätze:

aF1+bF2+cF3+dF4=0

Bei " =0 " sind sie ja linear abhängig, oder?

folgt:

a(x+1)+b(x2+x-1)+c(x2+x)+d(x2-x)=0


so, wie fahre ich jetzt weiter fort? Bei gegebenen Vektoren ist es ja noch einfach, jedoch bei Funktionen komme ich nicht mit klar.

Gruss

Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

17:42 Uhr, 05.06.2013

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Hallo,

hm, alle Polynome haben höchstens Grad 2.
Du fragst nach linearer (Un-)Abhängigkeit, was ein Begriff der Vektorraumtheorie ist. Soll heißen: Die Polynome vom Grad höchstens 2 bilden einen Vektorraum. Weißt du, welche Dimension der hat?

Vielleicht beantwortet das die Frage automatisch.

Um Abhängigkeit zu beweisen (bei konkreten Vektoren), gibt man am besten eine nicht triviale der Linearkombination der Vektoren an, die Null ergibt.

Mfg Michael
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matheleia

matheleia aktiv_icon

18:38 Uhr, 05.06.2013

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ich würde die Funktionen in ihre Nullstellen zerlegen und dann siehst du sofort, ob die eine oder andere Funktion durch skalare Multiplikationen, aus Elementen über den der Polynomring gebildet wurde (in deinem Fall wahrscheinlich IR), gleich einer anderen Funktion ist.
Hawaiianer

Hawaiianer aktiv_icon

12:35 Uhr, 10.06.2013

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also,

meine 4 Funktionen haben ja höchstens den Grad 2.

Ich bin im Forum auf eine ähnliche Frage gestoßen:

http//www.onlinemathe.de/forum/Linear-abhaengig

dort werden zwar nur 3 funktionen geprüft, aber das Prinzip bleibt ja das selbe,
Im letzten beitrag, wird die abhängigkeit geprüft durch "Isomorphie" diesen lösungsschritt finde ich richtig super, jedoch habe ich nicht verstanden, wie er aus den drei funktionen vektoren erstellt hat.

Qusi, wie bekomme ich aaus meinen 4 funktionen, 4 vektoren, das es sich meiner meinung nach leichter mit vektoren rechnet als mit funktionen,
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michaL

michaL aktiv_icon

17:03 Uhr, 10.06.2013

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Hallo,

nun, da die Polynome per se keine Komponentenvektoren sind, kannst du höchstens Koordinatenvektoren draus machen (optisch ist aber kein Unterschied).
Koordinatenvektoren erfordern aber vorher die Wahl einer geordneten Basis!

Also: wähle dir eine Basis von [x]. Stelle deine Polynome als Koordinatenvektoren in dieser Basis dar.
Dann kommst du alleine weiter.

Heißt aber auch: mache dich vorher(!) schlau, was Koordinatenvektoren sind. Das kann man googlen!

Mfg Michael
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