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Lineare unabhängigkeit von 5 Funktionen

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Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit Funktionen

firen1989 aktiv_icon

15:51 Uhr, 25.12.2018

Hallo und frohe Weihnachten,

ich soll zeigen, dass folgende Fkt. linear unabhängig sind:

cos x

cos 2 x

sin x

sin 2 x

sin 3 x

Beim suchen hier im Forum war ich schon auf eine ähnliche Frage gestoßen www.onlinemathe.de/forum/lineare-unabhaengigkeit-bezueglich-drei-funktionen

Die letzte Antwort von michAl habe ich aber leider nicht

100 %

verstanden.
Die Grundidee ist also zunächst, dass die triviale Lösung der Gleichung

0 = a \cdot cos x + b \cdot cos 2 x + c \cdot sin x + sin 2 x + sin 3 x

für alle

x

gelten muss. Also muss ich das nachweisen. Was ist aber mit den von michAl genannten passenden

x

gemeint die ich wählen soll? Und wenn ich diese "passenden"

x

habe müsste ich ja ein lineares Gleichungsystem mit fünf Gleichungen erhalten oder? Was mache ich damit dann?

Danke und Grüße
René

abakus

17:13 Uhr, 25.12.2018

Bei linearer Abhängigkeit müsste es möglich sein, sin(3x) als Linearkombination der übrigen Funktionen darzustellen.
Mache dir klar, dass a*sin(x)+b*sin(2x)+c*cos(x)+d*cos(2x) eine π-periodische Funktion ist (sin(3x) jedoch nicht).

godzilla12 aktiv_icon

18:06 Uhr, 25.12.2018

a_{1} cos (x) + a_{2} cos (2 x) + a_{3} sin (x) + a_{4} sin (2 x) + a_{5} sin (3 x) = 0 (1)

Du musst halt nur geschickt einsetzen, und schon separiert das Problem. Fangen wir an mit

x = 0

a_{1} + a_{2} = 0 (2 a)

Als Nächstes

x = π

- a_{1} + a_{2} = 0 (2 b)

Also das LGS (2ab) eliminiert schon mal

a_{1} = a_{2} = 0

Vielleicht ist der Rat von Abakus wirklich gut; versuch ich ' smal mit

x = \frac{1}{3} π

\frac{a_{3} + a_{4}}{\sqrt{3}} = 0 (3 a)

Jetzt

x = \frac{2}{3} π

\frac{a_{3}}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} a_{4} = 0 (3 b)

Auch die Lösung dieses LGS ist trivial; wäre

a_{5} > 0,

müsste

sin (3 x)

identisch verschwinden.

firen1989 aktiv_icon

01:05 Uhr, 26.12.2018

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Ich hab soweit verstanden WAS Du gemacht hast aber noch nicht komplett das WARUM.

Konkret verstehe ich

z . B

. bei dem ersten LGS das Du aufstellst nicht, wie Du das erzeugt hast. 1. Also mir ist klar, dass so gezeigt wird, dass

a 0

und

a 1

null sind. Aber mit welcher Begründung setzt man einfach 2 verschiedene x-Werte ein und erhält für jeden x-Wert eine neue Gleichung?
2. Könnte man auch theoretisch andere x-Werte benutzen? Es muss ja für ALLE

x

gelten. Sind die gewählten nur gewählt, weil sie es am einfachsten machen zu rechnen?

Danke! :-)

godzilla12 aktiv_icon

13:39 Uhr, 26.12.2018

Wenn du maximal ungeschickt vorgehen willst, setzt du

z . B

. fünf Mal den selben x-Wert ein. Dann bekommst du fünf Mal die selbe Bestimmungsgleichung; und da kannste dir ja überlegen, was das bringt.
Wenn man fünf verschiedene Werte nimmt, sollte man die schon geschickt wählen. Hast du dich schon mal mit

\to

skalarprodukt und

\to

Orthogonalität beschäftigt?
Weil bei der

\to

Fourier_Zerlegung gibt es ein Integral, das sagt praktisch aus, dass Sinus-und Kosinusfunktionen ( " harmonische Obertöne " ) mit verschiedener Frequenz aufeinander senkrecht stehen. Das alleine würde uns aber noch nicht weiter helfen.
Aus dieser Fourier_Idee wurde aber die Idee der

\to

diskreten Orthogonalität abgeleitet.

D . h

. wenn du so wie hier Oberschwingungen bis zur dritten Ordnung hast

1; cos (x); cos (2 x); cos (3 x) (2.1)

(und natürlich noch die entsprechenden Sinuswellen. )

Dann bilden diese Wellen auf den DISKRETEN Punkten

M := {\frac{k}{3} π, k = 0, . .

, 6} (2.2)

ein VOLLSTÄNDIGES ORTHONORMALES Funktionensystem ( und daher erst recht linear unabhängig.

) D . h

. jede beliebige diskrete Funktion, die auf

M

definiert ist, lässt sich (eindeutig) schreiben als Linearkombination dieser Sinusse und Kosinusse.
Näheres unter Fast Fourier Transform

\to

FFT ; ein hoch modernes Verfahren, um die Geschwindigkeit von Multiplikationen bei Mikroprozessoren zu beschleunigen.
Du tust also gut daran, in AGULA aufzupassen

. .

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