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Einem Kreis wird ein Rechteck eingeschrieben

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Differantialrechnung, Extremwertaufgaben, Optimierungsaufgabe

 
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Flowergirl

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00:00 Uhr, 20.02.2010

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Einem Kreis mit dem Radius r, wird ein Rechteck eingeschrieben, welches den maximalen Flächeninhalt haben sollte!! (siehe Bild)

Also die Hauptbedingung ist der maximale Flächeninhalt.

Ich habe jetzt lange nach Formeln gesucht, aber kann damit nicht viel anfangen.

A=a⋅b oder A=2r2 soll die Hauptbedingung sein.
a2+b2=4r
Ab=a
Aa=b

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.




mfg.

Flowergirl

Bsp. 475

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Shipwater

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00:31 Uhr, 20.02.2010

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Der Durchmesser 2r ist die Diagonale des Rechtecks, welche nach Pythagoras a2+b2 ist. Also:
2r=a2+b2
4r2=a2+b2
4r2-a2=b
Das ersetzt du in der Zielfunktion A(a,b)=a⋅b also erhältst du A(a)=a⋅4r2-a2
Da die Funktion für a>0 (und nur für a>0 ist es sinnvoll) nur positive Werte annimmt hat sie für a>0 auch die gleichen Extremwerte wie ihre Quadratsfunktion. (A(a))2=a2⋅(4r2-a2)=4a2r2-a4
[(A(a))2]'=8r2a-4a3=0
8r2a=4a3  |:a weil eh nur Werte a>0 interessieren
8r2=4a2
2r2=a2
2r=a⇔2r=b

Shipwater
Frage beantwortet
Flowergirl

Flowergirl aktiv_icon

01:07 Uhr, 20.02.2010

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Dankeschön!!!
Antwort
Shipwater

Shipwater aktiv_icon

11:06 Uhr, 20.02.2010

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Bitte schön.