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Logarithmus als Grenzwert einer Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

columkle1892 aktiv_icon

11:04 Uhr, 04.05.2019

Moin zusammen. Ich stehe vor folgendem Problem:

l i m_{n \to \infty} n \cdot (\sqrt{[} n] x - 1) = l n (x)

Das steht in einem Lehrbuch alss Satz, also muss man den Grenzwert auch irgendwie zeigen können. Ich habe aber keine Idee wie das gehen soll

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Mathe45

11:12 Uhr, 04.05.2019

Welcher Term ist gemeint ?

n \cdot (\sqrt{n} \cdot x - 1)

n \cdot (\sqrt{n \cdot x} - 1)

n \cdot (\sqrt{n \cdot x - 1})

Roman-22

11:38 Uhr, 04.05.2019

@Mathe45
Keiner deiner Vorschläge würde doch den Grenzwert

ln (x)

liefern!!!???

Natürlich ist

lim_{n \to \infty} [n \cdot (\sqrt[n]{x} - 1)] = ln x

gemeint!

columkle1892 aktiv_icon

11:44 Uhr, 04.05.2019

Roman hat recht. Leider wurde mein LaTeX code "\sqrt[n]{x}" nicht korrekt übersetzt

anonymous

11:47 Uhr, 04.05.2019

Hallo
Nach langem Grübeln glaube ich verstanden zu haben, wie die Aufgabe eigentlich lauten wollte.
Ich vermute du wolltest ausdrücken:

G = lim_{n \to \infty} n \cdot (\sqrt[n]{x} - 1)

Ich empfehle die Substitution:

x = 1 + y

G = lim_{n \to \infty} n \cdot ({(1 + y)}^{\frac{1}{n}} - 1)

und die binomische Reihenentwicklung von

{(1 + y)}^{\frac{1}{n}}

G = lim_{n \to \infty} n \cdot [1^{\frac{1}{n}} + (\frac{1}{n}) \cdot 1^{\frac{1}{n} - 1} \cdot y + (\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 2 \end{matrix}) \cdot 1 \cdot y^{2} + (\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 3 \end{matrix}) \cdot 1 \cdot y^{3} + . .

- 1]

= lim_{n \to \infty} n \cdot [(\frac{1}{n}) \cdot 1^{\frac{1}{n} - 1} \cdot y + (\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 2 \end{matrix}) \cdot y^{2} + (\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 3 \end{matrix}) \cdot y^{3} + ...]

= lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} \cdot y + \frac{n}{n} \cdot \frac{\frac{1}{n} - 1}{2} \cdot y^{2} + \frac{n}{n} \cdot ((\frac{1}{n} - 1) \cdot \frac{\frac{1}{n} - 2}{3!} \cdot y^{3} + . .

= lim_{n \to \infty} y + \frac{1 - n}{2 \cdot n} \cdot y^{2} + \frac{(1 - n) \cdot (1 - 2 \cdot n)}{6 \cdot n^{2}} \cdot y^{3} + . .

= lim_{n \to \infty} y - \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{n}) \cdot y^{2} + \frac{1}{3} \cdot (1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{1}{2 \cdot n}) \cdot y^{3} + . .

= y - \frac{1}{2} \cdot (1 - 0) \cdot y^{2} + \frac{1}{3} \cdot (1 - 0) \cdot (1 - 0) \cdot y^{3} + . .

= y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{4}}{4} + . .

= ln (1 + y)

= ln (x)

Roman-22

12:04 Uhr, 04.05.2019

>

Roman hat recht. Leider wurde mein LaTeX code "\sqrt

[

n]{x}" nicht korrekt übersetzt
Hier wird vieles, was in LaTeX möglich ist (möglich sein sollte) leider nicht unterstützt. Wobei ich ja nie wirklich verstanden haben, warum man "\sqrt" auch für n-te Wurzeln verwenden sollte, steht es doch für "square root" und bedeutet Quadratwurzel.
Zum Ziel führt hier die Schreibweise $\root

{n} {x}

\to \sqrt[n]{x}

Zur Aufgabe selbst:
Ich würde die Reihenentwicklung von

e^{x} = 1 + x + O (x^{2})

benutzen.

lim_{n \to \infty} [n \cdot (x^{\frac{1}{n}} - 1)] = lim_{n \to \infty} [n \cdot (e^{\frac{1}{n} \cdot ln x} - 1)] =

= lim_{n \to \infty} [n \cdot (1 + \frac{1}{n} \cdot ln x + O (\frac{1}{n^{2}}) - 1)] = lim_{n \to \infty} [ln x + O (\frac{1}{n})] = ln x

P . S . :

Natürlich kann man auch leicht mit der de l'Hôspital Keule draufschlagen, aber das würde schon eine ganze Menge voraussetzen. Benötigt man den Grenzwert um eben erst einen Differentialquotienten zu bestimmen, kann die Verwendung von de l'Hôspital da natürlich unzulässig sein.

Wie man so einen Grenzwert zeigt hängt also immer davon ab, was man bereits als bekannt voraussetzen darf. Darf man die Kenntnis der Ableitung einer Exponentialfunktion als bekannt voraussetzen, dann spricht nichts gegen de l'Hôspital (außer man hat grundsätzlich etwas gegen Holzhammer-Methoden ;-)

P . P . S . :

In deiner Formelsammlung findest du sicher auch jenen Grenzwert, der sich aus deinem durch Substitution

n \to \frac{1}{m}

ergibt:

lim_{m \to 0} \frac{x^{m} - 1}{m} = ln x

.
Vielleicht habt ihr den in der Vorlesung bereits behandelt und er wurde nun hier vorausgesetzt.

columkle1892 aktiv_icon

15:14 Uhr, 04.05.2019

Vielen Dank! Das leuchtet mir ein. Auch wenn ich alleine schon Schwierigkeiten gehabt haette das zu erkennen. Aber ich denke, da gehoert einfach Erfahrung zu.

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