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Lustige Zahlenspiele / Zufall oder nicht?

Schüler Realschule,

Tags: Wurzel, Zahlenspiel

Jessix aktiv_icon

19:13 Uhr, 27.09.2012

Kann mir Jemand bitte helfen? Ich weiß nicht, wie ich Behauptung und Beweis berechne.

Beispiel

√1*3+1

= 2

Behauptung: √n*(n+2)+1=

n + 1

√2*4+1

= 3

Beweis: √n(n+2)+1= √n²+2n+1 = (√n+1)²=

n + 1

√3*5+1

= 4

√4*6+1

= 5

√5*7+1

= 6

Aufgaben:

2 \cdot

√2/3 = √2

\frac{2}{3}

Behauptung: ?

3 \cdot

√3/8 = √3

\frac{3}{8}

Beweis: ?

4 \cdot

√4/16 = √4

\frac{4}{16}

√1*3*5*7+16= √121

= 11

Behauptung: ?
√2*4*6*8+16= √400

= 20

Beweis: ?

√3*5*7*9+16= √961

= 31

Bild um es übersichtlicher zu machen:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Hardliner aktiv_icon

23:12 Uhr, 27.09.2012

Hi, ich versuch es mal:
bei der ersten Aufgabe steht ja

2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 (+) \frac{2}{3}}

(das

+

in Klammern weil das ja bedeutet "2 Ganze und zwei Drittel")
daraus folgt für den allgemeinen Fall

(2

wird durch

n

ersetzt)

n \cdot \sqrt{\frac{n}{m}} = \sqrt{n + \frac{n}{m}}

(das

m,

weil der Nenner in den darauffolgenden Beispielen sich nicht regelmäßig verändert)
der Beweis ist im Allgemeinen nicht machbar hier, weil der Nenner nicht von

n

abhängig dargestellt werden kann (sieh nochmal nach, ob bei der letzten Zeile der Nenner nicht

15

statt

16

war)

Nächste Aufgabe:

\sqrt{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 16} = \sqrt{121} = 11

im Allgemeinen:

\sqrt{n \cdot (n + 2) \cdot (n + 4) \cdot (n + 6) + 16} = n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) = 4 n + 12 = \sqrt{{(4 n + 12)}^{2}} = \sqrt{16 n^{2} + 96 n + 144}

Beweis:

\sqrt{n \cdot (n + 2) \cdot (n + 4) \cdot (n + 6) + 16} = \sqrt{(n^{2} + 2 n) \cdot (n^{2} + 10 n + 24) + 16} = \sqrt{n^{4} + 12 n^{3} + 44 n^{2} + 48 n + 16}

. .

. so langsam komme ich aber dann nicht mehr weiter. Vielleicht ist ja trotzdem ein Ansatz dabei...

Matlog aktiv_icon

12:08 Uhr, 28.09.2012

Ich wollte gerade antworten.

Aber da das schon ziemlich ungewöhnliche "Rätselaufgaben" sind, zunächst meine Gegenfrage:
Bist Du sicher, dass diese Aufgaben nicht aus einem laufenden Mathematik-Wettbewerb stammen?
Wo hast Du diese Aufgaben her?

Jessix aktiv_icon

23:03 Uhr, 28.09.2012

Nein, unser Mathelehrer hat sie als Zusatzaufgaben gestellt. Wer sie richtig hat, bekommt eine

1,

die ungefähr genauso stark wie eine Mathearbeit zählt. Niemand aus meiner Klasse hat die Aufgaben richtig lösen können, sogar eine andere Mathelehrerin von unserer Schule, wusste die Lösungen nicht.
Aber heute Mittag war sowieso Abgabetermin.
Trotzdem lieben dank für die Hilfe

(\div

Matlog aktiv_icon

23:25 Uhr, 28.09.2012

Vielleicht interessieren Dich die Aufgaben ja trotzdem noch?

Erste Aufgabe:
In der Notation von Hardliner gilt die Gleichheit genau dann, wenn

m = n^{2} - 1

.
Wenn Du das für

m

einsetzt, dann bekommst Du den Beweis vielleicht alleine hin.

Zweite Aufgabe:
Hier hatte Hardliner für die rechte Seite nicht die richtige Vermutung.
Die Zahlen auf der rechten Seite ergeben sich (wieder in seiner Notation) durch

n^{2} + 6 n + 4

. Wenn Du diesen Ausdruck quadrierst, dann ergibt sich das

n^{4} + . .

. unter der letzten Wurzel in Hardliners Rechnung.

Jessix aktiv_icon

00:08 Uhr, 29.09.2012

Danke,
Ich werde diese Aufgaben wohl nie vollständig verstehen, aber angucken schadet ja nie.

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