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Matrix Anwendungsaufgabe

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Matrizenrechnung, Parameter

FrJon aktiv_icon

14:41 Uhr, 22.02.2012

Hallo,
ich habe grade etwas Probleme mit meiner Mathehausaufgabe und würde mich über Hilfe freuen;-)

Die Populationsentwicklung einer Tierart wird durch die Matrix

T = (\begin{matrix} 0 & 1 & 4 \\ 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \end{matrix})

beschrieben.

a)Für welchen Wert von a gibt es eine Population, die sich jährlich wiederholt?
b)Bestimme die Altersverteilung in dieser stationären Population, wenn sie insgesamt

2600

Tiere umfasst.

Mir genügen auch erst einmal Ansätze, vielleicht komm ich ja selber drauf;-)

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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prodomo aktiv_icon

16:05 Uhr, 22.02.2012

Bei

a)

ist der absorbierende Zustand bzw. der Eigenwert 1 gefragt. Der einfachste Weg ist,

A \cdot \vec{x} = \vec{x}

zu setzen und daraus a zu bestimmen.

Bummerang

16:08 Uhr, 22.02.2012

Hallo,

gesucht ist doch eine Matrix, bei der gilt:

(\begin{matrix} 0 & 1 & 4 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

Da ordnen wir mal etwas die Zeilen um:

(\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & a & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{2} \\ x_{1} \\ x_{3} \end{matrix})

Jetzt müssen wir das a-fache der zweiten Zeile von der letzten Zeile abziehen:

(\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot a \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{2} \\ x_{1} \\ x_{3} - a \cdot x_{1} \end{matrix})

Die erste Zeile wird mit 2 und die letzte Zeile wird mit

(- \frac{1}{a}))

multipliziert:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot x_{2} \\ x_{1} \\ - \frac{1}{a} \cdot x_{3} + x_{1} \end{matrix})

Zum Schluß wird die letzte Zeile von der zweiten abgezogen:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot x_{2} \\ \frac{1}{a} \cdot x_{3} \\ - \frac{1}{a} \cdot x_{3} + x_{1} \end{matrix})

Jetzt sieht man, dass bei der stationären Lösung

x_{1} = 2 \cdot x_{2}

ist. Das setzen wir in die dritte Gleichung ein und wir erhalten:

4 \cdot x_{3} = - \frac{1}{a} \cdot x_{3} + 2 \cdot x_{2}

(4 + \frac{1}{a}) \cdot x_{3} = 2 \cdot x_{2}

\frac{1}{2} \cdot (4 + \frac{1}{a}) \cdot x_{3} = x_{2}

Die zweite Gleichung ergibt aber:

x_{2} = \frac{1}{a} \cdot x_{3}

Da muß demzufolge gelten:

\frac{1}{2} \cdot (4 + \frac{1}{a}) \cdot x_{3} = \frac{1}{a} \cdot x_{3}

\frac{1}{2} \cdot (4 - \frac{1}{a}) \cdot x_{3} = 0

(4 - \frac{1}{a}) \cdot x_{3} = 0

Der Fall

x_{3} = 0

führt zu

x_{2} = 0

(folgt aus der zweiten Gleichung) und das wiederum führt zu

x_{1} = 0

(wegen

x_{1} = 2 \cdot x_{2})

. Die triviale Lösung existiert für alle

a,

das wußten wir aber bereits, das führt uns nicht weiter. Bleibt der Fall, dass

x_{3} \neq 0

ist, da können wir durch

x_{3}

dividieren:

4 - \frac{1}{a} = 0

4 = \frac{1}{a}

a = \frac{1}{4}

Für

a = \frac{1}{4}

gibt es eine stationäre Verteilung von

2600

Tieren und diese ergibt sich aus

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2600

2 \cdot x_{2} + x_{2} + x_{3} = 2600

2 \cdot (\frac{1}{\frac{1}{4}} \cdot x_{3}) + (\frac{1}{\frac{1}{4}} \cdot x_{3}) + x_{3} = 2600

2 \cdot (4 \cdot x_{3}) + 4 \cdot x_{3} + x_{3} = 2600

8 \cdot x_{3} + 5 \cdot x_{3} = 2600

13 \cdot x_{3} = 2600

x_{3} = 200

x_{2} = 4 \cdot 200 = 800

x_{1} = 2 \cdot 800 = 1600

Gerd30.1 aktiv_icon

18:31 Uhr, 22.02.2012

Alternative zu

a)

Der Eigenwert ist

1,

dann muss

det (\begin{matrix} - 1 & 1 & 4 \\ 0.5 & - 1 & 0 \\ 0 & a & - 1 \end{matrix}) = - 1 + 2 a + 0,5 = 0

sein, also

a = \frac{1}{4}

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