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Matrix: Determinanten + Nullstellen

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Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: Determinanten, Matrizenrechnung

TheSlash aktiv_icon

19:56 Uhr, 14.12.2010

Hi@all,

ich hab folgende Aufgabe und komm leider nicht weiter...
Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen...

. .

. schonmal danke im voraus

. .

.

Aufgabe:

f (x) = (\begin{matrix} x & 1 & ... & 1 \\ 1 & x & ... & 1 \\ ... & ... & ... & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x \end{matrix})

mit

(n \geq 2)

Berechnen Sie,

f (x)

durch Auswertung der n-zeiligen Determinante und geben Sie alle Nullstellen dieser Funktion an.

Hinweis:
Subtrahieren Sie zunächst die letzte Zeile von jeder anderen Zeile

... .

.

So nun erstmal nur die Determinanten von dem Ding!

Für

(n = 2) :

f (x) = (\begin{matrix} x & 1 \\ 1 & x \end{matrix})

\Rightarrow det (f (x)) = (x \cdot x) - (1 \cdot 1) = x^{2} - 1

Für

(n = 3) :

f (x) = (\begin{matrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{matrix})

\Rightarrow det (f (x)) = x \cdot ((x \cdot x) - (1 \cdot 1)) - 1 \cdot ((1 \cdot x) - (1 \cdot 1)) + 1 \cdot ((1 \cdot 1) - (x \cdot 1))

= x^{2} - x - (x - 1) + (1 - x)

= x^{2} - x - x + 1 + 1 - x

= x^{2} - 3 x + 2

Für

(n \geq 3) :

So, hier hab ich jetzt paar Schwierigkeiten! Ich hab mal eine 5x5-Matrix gewählt, da ich hoffe anhand derer dann eine allgemeingültige Determinante für die nxn-Matrix zu erkennen...

f (x) = (\begin{matrix} x & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & x \end{matrix})

Jetzt hab ich den Hinweis mit eingebracht!

f (x) = (\begin{matrix} x - 1 & 0 & 0 & 0 & 1 - x \\ 0 & x - 1 & 0 & 0 & 1 - x \\ 0 & 0 & x - 1 & 0 & 1 - x \\ 0 & 0 & 0 & x - 1 & 1 - x \\ 1 & 1 & 1 & 1 & x \end{matrix})

Also ich geh davon aus das man das ganze gebilde in der Richtung Dreiecksmatrix umformen kann... Allerdings bin ich ab hier aufgeschmissen und weis nicht mehr weiter...

Wenn ich das Gebilde zu einer Oberen- oder Unter-Dreiecksmatrix umgeformt habe, dann ist die Determinante ja recht simple...

det f (x) =

Das Produkt der Hauptdiagonalen

Hoffe mir kann jetzt jemand weiterhelfen die Matrix in Richtung Dreiecksmatrix umzuformen...

gruß
Dirk

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

TheSlash aktiv_icon

21:57 Uhr, 14.12.2010

Alles klar - selbst gelöst!

f (x) = (\begin{matrix} x - 1 & 0 & 0 & 0 & 1 - x \\ 0 & x - 1 & 0 & 0 & 1 - x \\ 0 & 0 & x - 1 & 0 & 1 - x \\ 0 & 0 & 0 & x - 1 & 1 - x \\ 1 & 1 & 1 & 1 & x \end{matrix})

Man muss einfach alle Spalten von links nach rechts auf die letzte Spalte addieren und dann kommt man zu folgendem Ergebnis:

f (x) = (\begin{matrix} x - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & x + (n - 1) \end{matrix})

Somit hab ich eine Untere-Dreiecksmatrix und die Determinante kann man über das Produkt der Hauptdiagonalen berechnen!

det (f (x)) = {(x - 1)}^{n - 1} \cdot (x + n - 1)

und damit kann man dann auch ganz leicht die Nullstellen ablesen!

Nullstellen bei

{1 - n, - 1,1, \sqrt{(\frac{5}{4})} + \frac{3}{2}}

Das war es schon...

Thx für die mitarbeit und bis zum nächsten mal...!

gruß
Dirk

irinka aktiv_icon

13:21 Uhr, 06.01.2011

hallo, ich habe eine frage...
wie kommst du auf die nullstellen? allso

1 - n

und 1 kann ich noch nachvollziehen uns was ist mit dem rest?

TheSlash aktiv_icon

14:00 Uhr, 06.01.2011

Das resultieren aus den Fällen für

n = 2

und

n = 3 . .

.
Die allgemeingültige Determinantenformel die ich erstellt hab bezieht sich nur auf nxn-Matrizen die

n > 3

sind...

gruß

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