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Matrix und Verknüpfung

Universität / Fachhochschule

Tags: Matrix, Verknüpfung

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18:00 Uhr, 10.04.2015

Sei

G = (\begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix}) | a, b \in ℝ

. Beweisen Sie, dass die Matrizenmultiplikation eine Verknüpfung auf

G

ist, die assoziativ und kommutativ ist und die ein neutrales Element besitzt. Finden Sie eine Matrix

A \in G,

für die

A^{2} = -

I_2 gilt. Dabei ist

A^{2} = A A

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

tommy40629 aktiv_icon

18:10 Uhr, 10.04.2015

Das musst Du alles mit Deinen 2x2 Matrizen G zeigen:

Ich schreibe für die Verknüpfung einfach *

A*(B*C)=(A*B)C

A*B=B*A

Beim neutralen Element=E musst Du zeigen, dass gilt:

A*E=A, da wir schon gezeigt haben, dass A*B=B*A ist, müssen wir nicht zeigen, dass auch

E*A=A ist.

Ich habe damals in meiner Übung das E ausgerechnet.

Kommt halt drauf an, ob Ihr mit der Addition oder Multiplikation von Matrizen arbeitet.
Oder ob Ihr eine andere unbekannte Verknüpfung benutzt.

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19:53 Uhr, 10.04.2015

Sieht dann so die komplette Lösung von der Aufgabe aus? So einfach? Ich habe gedacht, dass es anders geht.

Danke schön!

Roman-22

20:25 Uhr, 10.04.2015

Ich fürchte, du hast den ersten Satz in Tommy's Antwort überlesen.

Der zweite Teil der Aufgabe wurde da auch nicht skizziert. Was soll den da I_2 bedeuten - die

2 x 2

Einheitsmatrix?

R

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21:55 Uhr, 10.04.2015

Es tut mir leid, dass ich es falsch verstanden habe. Es ist nicht leicht für mich so eine Aufgabe zu lösen, da ich erst seit einer Woche studiere. Mit I_2 ist

i_{2}

gemeint.

Roman-22

22:00 Uhr, 10.04.2015

>

Es tut mir leid, dass ich es falsch verstanden habe.
Das muss dir nicht Leid tun.
Weißt du jetzt, was du tun musst?

>

Es ist nicht leicht für mich so eine Aufgabe zu lösen, da ich erst seit einer Woche studiere.
Keine Bange, das wird schon werden.

>

Mit I_2 ist

i_{2}

gemeint.
Hmm, und wofür steht

i_{2}

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22:02 Uhr, 10.04.2015

für die

A^{2} =

−

i_{2}

Roman-22

22:12 Uhr, 10.04.2015

>für die

A^{2} =

−

i_{2}

Das ist schon klar, das steht in der Angabe.

A^{2}

soll also eine ganz bestimmte 2x2-Matrix

- i_{2}

sein und daher wäre es nicht unwichtig, welche Matrix ihr in der Vorlesung mit

i_{2}

bezeichnet.
Meine Vermutung war, dass es sich dabei um die Einheitsmatrix

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

handelt.
Ohne zu wissen, was

i_{2}

und damit auch

- i_{2}

sein soll, wirst du schwer eine Matrix A finden können, für die

A \cdot A = A^{2} = i_{2}

ist.

Gruß

R

P . S . :

Sieh dir deinen Thread
http//www.onlinemathe.de/forum/Koerper-und-Matrix
nochmals an. Ich hab mein (ungeeignetes) Beispiel dort korrigiert.

GabSt aktiv_icon

22:29 Uhr, 10.04.2015

Vielen herzlichen Dank! Sie haben mir sehr geholfen!

jupper aktiv_icon

23:51 Uhr, 10.04.2015

Ich beschäftige mich aktuell auch mit der selben Aufgabe und hätte noch eine Frage zum neutralen Element. Wenn ich zeigen wollte, dass es vorhanden ist, könnte ich dann so vorgehen.

A = (\begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix}) A \in G

E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \in G

A \cdot E = (\begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix}) = A,

durch die Kommutativität gilt auch

E \cdot A = A

\Rightarrow E

ist das neutrale Element.

Roman-22

00:09 Uhr, 11.04.2015

Ja, genau so.

R

jupper aktiv_icon

00:20 Uhr, 11.04.2015

Ok, danke. Eine letzte Frage hätte ich noch zum zweiten Teil der Aufgabe. Im Skript wird mit

i_{m}

die Einheitsmatrix bezeichnet. In dem Fall ist also

i_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}),

ist dann

- i_{2} (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

Roman-22

00:40 Uhr, 11.04.2015

Ja. Eine Matrix wird mit einem Skalar (hier, ohne dass es explizit da steht

(- 1))

multipliziert, indem jedes Matrixelement mit diesem Skalar multipliziert wird.

Bei

i_{2}

hast du offenbar einen Tippfehler, aber das Richtige gemeint (rechts unten sollte eine 1 stehen, nicht

0)

jupper aktiv_icon

00:45 Uhr, 11.04.2015

Ja, hab mich vertippt ;-).

Demnach ist

A (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

und ich kann beruhigt schlafen gehen.

Vielen Dank!

Roman-22

16:43 Uhr, 11.04.2015

Genau so ist es.
Das ist allerdings nicht die einzige Lösung.
Auch

A = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

ist eine Lösung.

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