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Max. Fläche vom Rechteck in der Ellipse ?

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Analysis, Ellipse, Mathematik, Rechteck, Studium

DemetAlara aktiv_icon

21:36 Uhr, 10.02.2021

Gegeben ist die Ellipse

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Wie groß müssen die Seitenlängen eines Rechtecks gewählt werden, damit das Rechteck, dessen Punkte auf der Ellipse liegen , eine maximale Fläche A hat ?

Ich hab gedachte das die Fläche

A (x, y) = 4 y \cdot 4 x

ist.

Die Ellipse nach

y

auflösen und einsetzten .

Aber ich bekomme die Wurzel nicht weg, gibt es eine Möglichkeit das so umzuformen das ich beim ableiten keine Wurzel habe .

Danke euch im Voraus .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

Roman-22

21:54 Uhr, 10.02.2021

Nun, für die Rechteckfläche reicht vermutlich

A = 2 x \cdot 2 y =

4xy, oder?
Du kannst dich aber auch auf das Viertel im ersten Quadranten beschränken.
Wenn du die Wurzel nicht weg bringst, dann lass sie bestehen und bringe das Solo-x unter die Wurzel. Danach kannst du dann für die Bestimmung der x-Koordinate, die zur maximalen Fläche führt, die Wurzel einfach weg lassen, denn wenn der Ausdruck unter der Wurzel, der Radikand, maximal wird, dann auch der Wurzelausdruck.

Eine Alternative wäre es, für die Ellipse auf deren Darstellung in Parameterform zurück zu greifen:

x = a \cdot cos (t)

y = b \cdot sin (t)

Wenn du nicht weiter kommst, dann frag einfach nochmal und zeige deine bisherige Rechnung.

DemetAlara aktiv_icon

22:35 Uhr, 10.02.2021

Hab bis jetzt mit der anderen Form nicht gerechnet . Bräuchte es nur für die Aufgabe , da mein Professor dies nur nebenbei benannt hat .

Wenn ich das

x

solo einsetzte , müsste ich doch dort auch die Wurzel ziehen , soweit ich es sehe .

DemetAlara aktiv_icon

22:35 Uhr, 10.02.2021

Hab bis jetzt mit der anderen Form nicht gerechnet . Bräuchte es nur für die Aufgabe , da mein Professor dies nur nebenbei benannt hat .

Wenn ich das

x

solo einsetzte , müsste ich doch dort auch die Wurzel ziehen , soweit ich es sehe .

Roman-22

23:02 Uhr, 10.02.2021

>

Wenn ich das

x

solo einsetzte , müsste ich doch dort auch die Wurzel ziehen , soweit ich es sehe .

???? Was meinst du damit?
Wie sieht denn deine Rechnung aus?

x = \sqrt{x^{2}},

jedenfalls für

x \geq 0

und das reicht ja im ersten Quadranten.

DemetAlara aktiv_icon

23:06 Uhr, 10.02.2021

Haben es so gerechnet

DemetAlara aktiv_icon

23:08 Uhr, 10.02.2021

Im Anhang ist meine Rechnung

Roman-22

23:08 Uhr, 10.02.2021

Falls du versucht hast ein Photo anzuhängen - es gilt hier eine Größenbeschränkung von

500

kB für die Dateigröße.
Du kannst die Rechnung aber auch hier im normalen Textmodus eintippen - ist nicht so schwer.

Roman-22

23:23 Uhr, 10.02.2021

Jetzt ist deine Rechnung sichtbar.

Du hast immer noch die falsche Formel für die Fläche (eine 4 zu viel!)

Du darfst doch bei

y = . .

. nicht einfach die Wurzel weglassen!!

(und dann noch:

3 \cdot 16 = 48,

nicht

32

und für

\sqrt{\frac{a^{2}}{2}}

sollte man

\frac{a}{\sqrt{2}}

oder

a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

schreiben)

Du hast

y = \sqrt{b^{2} - \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}}

und vermutlich ist es geschickter, das auf

y = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^{2} - x^{2}}

umzuformen.

Für die Rechteckfläche gilt nun

A (x) = 4 \cdot x \cdot y = 4 \cdot \frac{b}{a} \cdot x \cdot \sqrt{a^{2} - x^{2}}

Das könntest nun auch hoffentlich problemlos mit Produkt- und Kettenregel ableiten, wobei es einfacher wäre, das

x

erst noch unter die Wurzel zu bringen und sich damit die Produktregel zu ersparen.

Allerdings kannst du auch eine Ersatzfunktion bilden, die an der gleichen Stelle ein Extremum hat wie

A (x),

indem du den konstanten Faktor

4 \frac{b}{a}

einfach weg lässt und den Rest quadrierst. Das führt zu

\bar{A} (x) = a^{2} x^{2} - x^{4}

Beachte, das diese Funktion NICHT die Rechteckfläche angibt, weshalb sie auch einen anderen Namen, nämlich

\bar{A},

bekommen hat. Aber diese einfachere Funktion ist für den gleichen x-Wert am größten, für den auch

A (x)

am größten ist. Nur rechnet es sich mit

\bar{A} (x)

vermutlich deutlich leichter.

DemetAlara aktiv_icon

14:11 Uhr, 11.02.2021

Danke Ihnen für die schnelle und hilfreiche Antwort , habs jetzt verstanden :-)

Liebe Grüße
Demet

HAL9000

14:59 Uhr, 11.02.2021

> Eine Alternative wäre es, für die Ellipse auf deren Darstellung in Parameterform zurück zu greifen:
>

x = a \cdot \cos (t)

y = b \cdot \sin (t)

Dieser Alternativweg ist an Eleganz kaum zu überbieten, kann man doch sogar auf Analysis völlig verzichten: Es ergibt sich die Fläche

A = 4 x y = 4 a b \cos (t) \sin (t) = 2 a b \sin (2 t)

, letzteres laut Sinus-Additionstheorem .

Da

\sin (2 t) \leq 1

mit Gleichheit bei

t = \frac{π}{4}

, ergibt sich

A \leq 2 a b

mit Gleichheit erreichbar für

x = a \cos (\frac{π}{4}) = \frac{a}{\sqrt{2}}

sowie

y = b \sin (\frac{π}{4}) = \frac{b}{\sqrt{2}}

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