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Maximum, Minimum, kompakte Teilmengen
Universität / Fachhochschule
Tags: Funktion, Maximum, Minimum, Stetigkeit
 
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Hallo, ich stehe vor einer Aufgabe bzw. einer Lösung, die mich sprachlos macht. Ich halte sie nämlich für absolut falsch, obwohl sie richtig sein dürfte. Die Aufgabe ist folgende: Sei D = [-2, 2) x [-2, 2) und f(x, y) = -x stetig auf D. Die Frage ist, ob f ihr Maximum annimmt. Meine Lösung lautet: f(-2, y) = 2 = sup(f), also nimmt f ihr Maximum an allen Stellen (x, y) = (-2, y). Nicht angenommen wird dafür das Minimum, weil x = 2 ausserhalb von D liegt. Die offizielle Lösung lautet hingegen, dass f ihr Maximum nicht annimt, weil D nicht abgeschlossen, daher auch nicht kompakt ist. Ich finde diese Erklärung absolut bescheuert, denn es liegt auf der Hand, dass 2 sowohl die kleinste obere Schranke von f als auch Funktionswert von f ist. Der Satz vom Minimum und Maximum besagt zwar, dass der Definitionsbereich D einer Funktion f kompakt, daher auch abgeschlossen sein muss, damit f sowohl ihr Maximum als auch ihr Minimum annehmen kann, sofern sie auf D stetig ist. Diese Behauptung ist aber nicht äquivalent mit: Ist D nicht kompakt, dann nimmt f weder ihr Minimum noch ihr Maximum an - finde ich. Denn es gibt halboffene Intervalle, so dass f nur Ihr Maximum oder nur ihr Minimum annimmt - oder? Mag mich jemand aufklären? Danke Sonusfaber Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, du hast vollkommen Recht. Die angegebene Lösung ist 1. falsch und 2. Quatsch, weil eine stetige Funktion auf einer nichtkompakten Menge durchaus Maximum und / oder Minimum annehmen kann. Gruß ermanus |
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DANKE! Du hast mir den Tag gerettet, weil ich schon im Begriff, alles hinzuschmeissen aus der Überzeugung heraus, definitiv zu dumm zu sein für Mathematik ... |
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"DANKE! Du hast mir den Tag gerettet, weil ich schon im Begriff, alles hinzuschmeissen aus der Überzeugung heraus, definitiv zu dumm zu sein für Mathematik ..." So schnell aufgeben wäre dumm! mfG Atlantik |
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