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Mehrstufige Zufallsexperimente

Schüler Kooperative Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: Wahrscheinlichkeit, Würfel, Zufall, Zufallsexperiment

 
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Akira17

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21:21 Uhr, 20.10.2016

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Wir haben heute in der Schule eine Aufgabe bekommen, mit der ich leider ein paar Problme habe...

Die Aufgabe lautet:

Alexander und Boris vereinbaren einen Würfel zu werfen, bis die Augenzahl 6 erscheint, aber höchstens 6 mal. Alexander zahlt für jeden Wurf einen Einsatz von 10 Cent an Boris. Kommt eine 6 während der Würfe, so gewinnt Alexander und erhält von Boris eine Auszahlung von 1 Euro.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Alexander verliert?
b) Zeige, dass die Spielregeln für Boris vorteilhaft ist.
c) Wie hoch müsste die Auszahlung für Alexander im Gewinnfall sein, damit ein faires Spiel vorliegt?

Den Teil a) hab ich noch hinbekommen, eine 6 hat eine Wahrscheinlichkeit von 16, die anderen Zahlen eine von 56. Wenn er keine 6 bekommt und somit verliert ist die Rechnung (56)6, also rund 33,5%.

Beim Teil b) bekomme ich aber immer nur einen Nachteil für Boris raus. Wenn Alexander beim ersten Versuch eine 6 bekommt ist die Wahrscheinlichkeit 16, also rund 16,7%. Die Wahrscheinlichkeit, dass er sie beim zweiten Mal bekommt ist 56⋅16, also rund 13,9%, was meiner Meinung nach aber keinen Sinn macht, warum sollte je mehr Versuche er hat die Wahrscheinlichkeit auf eine 6 sinken?
Wenn ich mit den so ausgerechneten Werten den durchschnittlichen Gewinn/Verlust berechne, indem ich die Prozentzahl (z.B. 0,167) mal das Geld (z.B. -0,9) rechne und dann alles zusammenzähle, kommt -0,2661€ raus, aber dann hätte Boris ja keinen Vorteil sondern einen Nachteil.

Ich verstehe leider echt nicht, wo der Fehler liegt. Kann mir bitte jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
anonymous

anonymous

22:09 Uhr, 21.10.2016

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Ich hab genau das gleiche raus. Boris hat einen Nachteil.

>was meiner Meinung nach aber keinen Sinn macht, warum sollte je mehr Versuche er hat
>die Wahrscheinlichkeit auf eine 6 sinken?

56⋅16 ist ja nicht die Wahrscheinlichkeit einfach nur eine 6 zu Würfeln sondern die Wahrscheinlickeit genau beim 2. Versuch die ERSTE 6 zu würfeln.
Daher macht es Sinn das die W'keit sinkt.
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Roman-22

Roman-22

12:03 Uhr, 23.10.2016

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Ich habe die Aufgabe genau so interpretiert wie ihr beide und auch das gleiche Ergebnis erhalten.

Mag sein, dass sich im Aufgabentext ein Fehler eingeschlichen hat und zB die Vornamen vertauscht wurden.
Möglicherweise hat sich der Aufgabenersteller aber auch die Aufgabe ein wenig anders vorgestellt und es nicht geschafft, das auch sprachlich auf den Punkt zu bringen.
Vielleicht muss Alexander immer für alle 6 Würfe bezahlen und es geht nur um die Frage, ob er bei seinen 6 Würfen mindestens eine 6 dabei hat.
Es wäre zwar dann sinnlos, nach der ersten 6 weiter zu würfeln, die 60 Cent hätte Boris aber trotzdem kassiert.
Die Aufgabe wäre dann deutlich einfacher und würde damit auch einer klassischen Schulaufgabe näher kommen.

Alexander gewinnt dabei immer noch mit einer Wahrscheinlichkeit von pA=1-(56)6, aber sein Einsatz wäre konstant 0,60 €, unabhängig davon, mit welchem Wurf er die (erste) Sechs würfelt. Seine Gewinnerwartung ist dann pA⋅0,4 € +(1-pA)⋅(-0,6 €) ≈+0,065 €. Er hat damit einen leichten Vorteil und Boris den behaupteten Nachteil.

Auch der gesuchte "gerechte" Einsatz für Alexander von pA6 € ≈11,085 Cent pro Wurf wäre so deutlich einfacher zu berechnen.

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