Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Minimale Fläche eines Quaders

Minimale Fläche eines Quaders

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentialrechnung

Lalilu123 aktiv_icon

15:29 Uhr, 21.06.2015

Finden sie die Seitenlänge einer quaderförmigen Streichholzschachtel, die bei gegebenem Volumen von 45cm³ die minimale Oberfläche hat, um den Materialverbrauch möglichst klein zu halten. Dabei soll eine der Seiten die Länge 5cm haben, damit die Streichhölzer hineinpassen.

Also das Volumen berechnet man ja mit

a \cdot b \cdot c

und a=5cm
also könnte man ja eine Funtkion aufstellen mit

45 = a \cdot b \cdot c,

also

45 = 5 \cdot b \cdot c

Komme gar nicht voran...

Dazu habe ich noch eine Aufgabe, bei der man berechnen soll, welches gleichschenklige Dreieck bei gegebenem Umfang die größte Fläche hat und auch hier brauch ich dringend Hilfe...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Matheboss aktiv_icon

15:48 Uhr, 21.06.2015

Die Nebenbedingung hast Du jetzt schon.

5 \cdot b \cdot c = 45

Jetzt

z . B

. nach

b

auflösen

b = \frac{9}{c}

sowie

a = 5

in die Hauptbedingung

O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)

einsetzen.

Dann hast Du

O (c) = ... .

.

Wie findet man dann Extremwerte?

Lalilu123 aktiv_icon

18:27 Uhr, 21.06.2015

Danke, ich schreibe mal meinen Weg auf:

V = a \cdot b \cdot c

45 = 5 \cdot b \cdot c

b = \frac{9}{c}

Also:

O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)

O = 2 \cdot (5 \cdot \frac{9}{c} + 5 \cdot c + \frac{9}{c})

Dann habe ich umgeformt zu:

O = 90 \cdot c^{- 1} + 10 \cdot c + 18

Dann habe ich die erste Ableitung gebildet:

O' (c) = - 90 \cdot c^{- 2} + 10

Und habe dann am Ende den Tiefpunkt 3 raus bekommen, womit

c

und

b

dann 3 wären.

Ist das so richtig?
Und wie sieht es mit meiner zweiten Frage aus??

Beim Dreieck hat man ja folgende Formeln:

U = 2 \cdot a + c

A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h

Aber wie mach ich dann weiter?

pleindespoir aktiv_icon

19:13 Uhr, 21.06.2015

"Und wie sieht es mit meiner zweiten Frage aus??"

Die verdient einen eigenen Thread finde ich.

steveQ aktiv_icon

23:29 Uhr, 21.06.2015

Bei dem Dreieck kommt als Lösung (wie erwartet) das gleichseitige Dreieck heraus. Brauchst Du noch die Herleitung?

Lalilu123 aktiv_icon

00:08 Uhr, 22.06.2015

Ja, das wäre sehr lieb :-)

steveQ aktiv_icon

00:29 Uhr, 22.06.2015

Reicht auch noch heute nachmittag?

Matheboss aktiv_icon

10:55 Uhr, 22.06.2015

Wieder auflösen nach

c = U - 2 \cdot a

A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h

Bestimme

h

über den Satz des Pythagoras

dann

A (c) = ...

.

Du erhältst bestimmt schneller Antwort, wenn Du für jede Aufgabe einen eigenen Thread öffnest!

steveQ aktiv_icon

13:18 Uhr, 22.06.2015

Anfang wie Matheboss: U = 2a + c oder c = U - 2a und h² = a² - (0,5c)² = a² - 0,25c² =

a² - 0,25 (U - 2a)² = a² - 0,25 (U² - 4Ua + 4a²) = a² - 0,25U² + Ua - a² = Ua - 0,25U² =

0,25U (4a - U). Jetzt setze ich oBdA U = 4, dann ist h² = 4a - 4 = 4 (a - 1).

Die Fläche des Dreiecks ist A = 0,5hc und A² = 0,25h²c² = (a - 1) c² = (a - 1) (U - 2a)² =

(a - 1) (4 - 2a)² = 4 (a - 1) (2 - a)² = 4 (a - 1) (a - 2)².

Wenn A(a) ein Maximum hat, dann auch A²(a) = B(a) und 0,25B(a) = C(a) = (a - 1) (a - 2)².

Nach der Produktregel ist

C´(a) = (a - 1) 2 (a - 2) + (a - 2)² = (a - 2) (2a - 2 + a - 2) = (a - 2) (3a - 4). Setze C´(a) = 0. Lösung

a = 2 ist trivial, das Dreieck entartet zur Strecke, A ist minimal, also ist a = 4/3 und damit auch c = 4/3.

1242728

1242512

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?