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Minimale Zylinderoberfläche

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: minimale oberfläche berechnen, Volumen, Zylinder

bwib2010 aktiv_icon

09:17 Uhr, 19.01.2011

Kann mir zu folgender Angabe jemand den Rechenweg erklären?

In eine zylindrische Dose sollen genau 1 Liter Bohnensuppe passen.

Berechne die kleinstmögliche Oberfläche.

War eine Klausurfrage

(1

. Semester BWL) nur leider konnte Sie in unserer Gruppe Mathegenies keiner lösen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

vulpi aktiv_icon

09:31 Uhr, 19.01.2011

Hi,
über die optimale Dose ist doch wahrscheinlich jeder schon mal gestolpert,
wenn das Thema Extremwertaufgaben aktuell war
*wunder ! :-)

das müßte reichen:

http//www.onlinemathe.de/forum/Dose-berechnen-wenig-Fl%C3%A4che-bei-angegebenem-Volu

lg

Edddi aktiv_icon

09:50 Uhr, 19.01.2011

...der Link ist passig, jedoch sind die Darstellungen der Formeln dort schrottig.

Da geht doch nix über OnlineMathe!

1 L = 1 d m^{3} = 1000 c m^{3}

Das Volumen eines Zylinders berechnet sich nach:

V = G \cdot h

wobei

G

die Grundfläche

(π \cdot r^{2})

und

h

die Höhe ist.

Ist das Volumen nun vogegeben, so kann die Dose bei bestimmter Grundfläche

G

auch nur eine bestimmte Höhe

h

haben:

h = \frac{V}{G}

Jetzt setzen wir das Dosenmaterial (die Oberfläche) zusammen. Wir brauchen Boden und Deckel:

A = 2 \cdot π \cdot r^{2}

Und wir brauchen den Mantel (abgerollt ist's ein Rechteck mit einer Breite von

2 \cdot π \cdot r

(Umfang des Bodens) und einer Höhe von

h)

M = 2 \cdot π \cdot r \cdot h

Wir haben somit zusammen:

O = A + M = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot h

Da die Höhe, wegen gegebenes Volumen

V

von der Grundfläche, und somit vom Radius

r

abhängt, erhalten wir:

O = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{V}{G}

O = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{V}{π \cdot r^{2}}

O = 2 \cdot π \cdot r^{2} + \frac{2 \cdot V}{r}

Jetzt Extremstelle suchen:

O' (r) = 4 \cdot π \cdot r - \frac{2 \cdot V}{r^{2}} = 0

4 \cdot π \cdot r^{3} - (2 \cdot V) = 0

4 \cdot π \cdot r^{3} = 2 \cdot V

r^{3} = \frac{V}{2 \cdot π}

r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \cdot π}}

Über obige Bedingung

h = \frac{V}{G}

kann man nun auch nooch

h

berechnen:

h = \frac{V}{G} = \frac{V}{π \cdot r^{2}} = \frac{V}{π \cdot {\sqrt[3]{\frac{V}{2 \cdot π}}}^{2}} = \frac{V}{π \cdot \sqrt[3]{\frac{V^{2}}{4 \cdot π^{2}}}} = \frac{V}{\sqrt[3]{\frac{V^{2} \cdot π}{4}}}

Somit ist das Verhältniss von Höhe zu Radius:

\frac{h}{r} = \frac{\frac{V}{\sqrt[3]{\frac{V^{2} \cdot π}{4}}}}{\sqrt[3]{\frac{V}{2 \cdot π}}}

\frac{h}{r} = \frac{\sqrt[3]{\frac{4 \cdot V}{π}}}{\sqrt[3]{\frac{V}{2 \cdot π}}}

\frac{h}{r} = \sqrt[3]{8} = 2

Somit

h = 2 \cdot r

bzw:

h = d

Für eine minimale Oberfläche sollte der Durchmesser der Dose genau so hoch sein wie die Höhe.

Speziell für dein Volumen von

1 d m^{3} = 1 L

ergibt sich:

r = \sqrt[3]{\frac{1}{2 \cdot π}} \approx 0,5419 d m

h = d = 2 \cdot r \approx 1,0838 d m

;-)

bwib2010 aktiv_icon

10:11 Uhr, 19.01.2011

besten Dank für die raschen antworten.

Greenkeeper aktiv_icon

20:19 Uhr, 23.06.2015

Hallo,
ich frage mich gerade, wie man die maximale Oberfläche bei gegebenem Volumen berechnen würde.

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