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Minimum einer Menge bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Menge, Minimum

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23:54 Uhr, 24.04.2019

Hallo,
ich soll das Minimum der Menge $F = {| x - a 1 | + | x - a 2 | : x \in ℝ}$ bestimmen. $a 1$ und $a 2$ sind reele Zahlen.
Wie kann ich das machen? Der Betrag kann ja minimal Null sein, also müsste das Minimum der Menge auch Null sein für $x = 0$ und $a 1 = a 2 = 0,$ aber das kanns nicht sein, oder?
Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Extrema / Terrassenpunkte

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Roman-22

01:01 Uhr, 25.04.2019

$>$ aber das kanns nicht sein, oder?
Wirds wohl nicht ein, nein. Du musst $a_{1}$ und $a_{2}$ als gegebene reelle Konstanten sehen un darfst diese daher nicht willkürlich Null setzen

Mach dir mal für ein paar Kombinationen von $a_{1}$ und $a_{2}$ eine Zeichnung von der Funktion $f (x) := | x - a_{1} | + | x - a_{2} |$ und überlege dir dann, welche Funktionswerte für $a_{1} \leq x \leq a_{2}$ rauskommen. Ich nehme da oBdA $a_{1} \leq a_{2}$ an.

abakus

10:00 Uhr, 25.04.2019

|x-a1| ist der Abstand der reellen Zahl x zur reellen Zahl a1.

|x-a2| ist der Abstand der reellen Zahl x zur reellen Zahl a2.

|x-a1|+|x-a2| ist die Summe der beiden Abstände und soll so klein wie möglich werden.

Hinweis: wenn x zwischen a1 und a2 hin und her geschoben wird, ändert sich diese Summe nicht.

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10:32 Uhr, 26.04.2019

Hi,
vielen Dank für eure Hilfe!
Ich kann eure Ratschläge leider erst heute Abend ausprobieren, aber melde mich dann nochmal!

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18:44 Uhr, 26.04.2019

Ok, also ich glaube jetzt zu wissen, dass das Minimum der Betrag der Differenz von $a 1$ und $a 2$ ist also: $| a 1 - a 2 |$ .
Aber das Problem ist, ich habe das jetzt durch Ausprobieren rausgefunden.

Man muss das doch auch irgendwie "ausrechnen" können, oder? (Sorry, kann sein, dass die Frage total dämlich ist.)

Ich dachte an sowas hier:

$| x - a 1 | + | x - a 2 | \geq | x | - | a 1 | + | x | - | a 2 |$ (laut einer Formel)
$\Rightarrow | x - a 1 | + | x - a 2 | \geq 2 | x | - | a 1 | - | a 2 |$

wobei $| a 1 | - | a 2 | \leq | a 1 - a 2 |$

Aber damit komme ich dann leider auch nicht weiter...

Ich verstehe auch den Hinweis "wenn $x$ zwischen $a 1$ und $a 2$ hin und her geschoben wird, ändert sich diese Summe nicht." leider nicht... Was meinst du mit hin und her geschoben?

abakus

18:51 Uhr, 26.04.2019

Dann wähle doch mal a1=2, a2=4, und dann "schiebe x zwischen 2 und 4 hin und her",
indem du z.B. für x=2,5, für x=2,8, für x= 3,9 usw. jeweils
|x-2|+|x-4| ausrechnest.

Du wirst immer die gleiche Summe erhalten.

Das Zauberwort für die allgemeine Lösung heißt übrigens "Dreiecksungleichung".

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19:02 Uhr, 27.04.2019

Ok, danke dir. Ich habs jetzt mit der Dreiecksungleichung probiert. Darüber auf verschiedenen Wegen, aber ich komme letztendlich immer auf das gleiche Ergebnis, nämlich auf $\frac{1}{2} \cdot | a 1 + a 2 | \leq | x |$ bzw., was vielleicht etwas praktischer ist: $\frac{| a 1 |}{2} + \frac{| a 2 |}{2} = | x |$ .

Das ist aber ja dann nur der x-Wert, und zwar der, der in der Mitte zwischen $a 1$ und $a 2$ liegt. Also ein x-Wert für den die Funktion dann minimal ist (aber nicht alle x-Werte).
Um dann den minimalen Wert der Funktion herauszubekommen setze ich diesen x-Wert in die Funktionsgleichung ein, also:

$F (x) = | \frac{| a 1 |}{2} + | a 2 | / 2 - a 1 | + | \frac{| a 1 |}{2} + | a 2 | / 2 - a 2 |$

Dann habe ich theoretisch drei Fallunterscheidungen
1 Fall: $a 1 \geq 0$ und $a 2 \geq 0$
2 Fall: $a 2 < 0$ und $a 2 < 0$
3 Fall: $a 1 < 0$ und $a 2 > 0$

Stimmt das so? Ich frage nur, weil sich dann beim dritten Fall noch mehr Fälle ergeben und die Ergebnisse auch nicht unbedingt stimmig sind....

Letztendlich würde ich ja gerne $| a 1 - a 2 |$ herausbekommen. Das kommt bei mir mit den ganzen Fallunterscheidungen aber nicht heraus. Es kommt nur dann heraus, wenn ich $\frac{a 1 + a 2}{2}$ für $x$ einsetze, aber ohne Betrag.

Roman-22

20:24 Uhr, 27.04.2019

Du benötigst doch keine Fallunterscheidung!

Wenn die Dreiecksungleichung $| a | + | b | \geq | a + b |$ einfach direkt auf deine Funktion $f (x) = | x - a_{1} | + | x - a_{2} |$ an.
Vielleicht hilft es, wenn du dabei $| x - a_{2} | = | a_{2} - x |$ verwendest ;-)

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21:37 Uhr, 27.04.2019

Ok, das klappt dann, $d . h$ . ich bekomme $| a 1 - a 2 |$ heraus.

Die Aufgabe hat dann noch einen Teil $b,$ bei welchem ich die Menge $M = {r \in ℝ : | r - a 1 | + | r - a 2 | = min (F)}$ bestimmen soll.

Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz. Es steht ja schon dran das $| r - a 1 | + | r - a 2 |$ das Minimum von $F$ ist also auch $| a 1 - a 2 |$ . Und auch wenn es nicht dran stünde, würde sich wieder das gleiche ergeben.

$| a 1 - a 2 |$ ist eine Distanz, also ist sie minimal 0 und kann beliebig groß sein. Das Intervall wäre also $[$ 0,unendlich).

Oder verstehe ich die Aufgabe falsch?

Respon

21:51 Uhr, 27.04.2019

Das wurde oben schon erwähnt: $M = [a_{1}; a_{2}]$

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22:29 Uhr, 27.04.2019

Stimmt, macht Sinn, ich habe nicht bedacht, dass ich die Werte finden muss, die $r$ annehmen kann, damit das Minimum erreicht wird.

Also logisch gesehen, und wenn ich die Grafiken von möglichen Funktionen anschaue macht das für mich Sinn. Aber kann ich das auch irgendwie ausrechnen?

Ich habe versucht $| r - a 1 | + | r - a 2 | = | a 2 - a 1 |$ zu setzen, aber auf dem Weg bekomme ich kein Intervall raus, weil sich entweder das $r$ rauskürzt wie bei der vorherigen Aufgabe das $x$ oder gar nichts vernünftiges rauskommt...

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22:30 Uhr, 27.04.2019

Sorry, Doppelpost...

Roman-22

22:44 Uhr, 27.04.2019

Hier könntest du mit Fallunterscheidung arbeiten.
Nehmen wir wieder oBdA $a_{1} \leq a_{2}$ an.

$1) x < a_{1}$
$2) a_{1} \leq x \leq a_{2}$
$3) x > a_{2}$

$1) \Rightarrow | x - a_{1} | = a_{1} - x$ und $| x - a_{2} | = a_{2} - x$ und jetzt in die Funktion einsetzen
$f (x) = a_{1} + a_{2} - 2 x > a_{1} + a_{2} - 2 a_{1} = a_{2} - a_{1} =$ Min.
Bei der Abschätzung wurde $x < a_{1}$ verwendet, daher ist $- 2 x > - 2 a_{1}$

$2)$ und $3)$ ähnlich

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23:06 Uhr, 27.04.2019

Das hat geklappt!
Vielen Dank, ihr habt mir sehr geholfen.

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