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Minimum ist eindeutig

Universität / Fachhochschule

Tags: Minimum

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19:06 Uhr, 05.05.2023

Sei

X

eine reellwertige Zufallsvariable mit endlichem zweiten Moment.
Man zeige, dass die Funktion

f : ℝ \to ℝ

mit

f (a) = E [(X - a)^{2}]

ihr globales und eindeutig bestimmtes Minimum im Punkt

a = E [X]

annimmt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:14 Uhr, 05.05.2023

Hallo,

der Funktion ist

f (a) = E (X^{2}) - 2 a E (X) + a^{2}

. Diese nach a ableiten und die Ableitung gleich 0 setzen.

Zur Klassifizierung des Extrempunktes die zweite Ableitung bilden. Ist

f^{ʹ ʹ} (a^{*}) > 0

, dann ist es ein relatives/absolutes Minimum.
Es ist ein absolutes Minimum da es sich um eine quadratische Funktion handelt. Ggf. überprüfen ob

lim_{a \to \pm \infty} f (a) = \infty

Gruß
pivot

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20:26 Uhr, 05.05.2023

sehr verständlich. Dankeschön

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20:27 Uhr, 05.05.2023

Gerne. Freut mich, dass alles klar ist.

HAL9000

21:56 Uhr, 05.05.2023

Man kann auch einfach quadratisch ergänzen

f (a) = a^{2} - 2 a \cdot E (X) + E (X^{2}) = {[a - E (X)]}^{2} + E (X^{2}) - {(E (X))}^{2} = {[a - E (X)]}^{2} + V (X)

und so die Minimumstelle

a = E (X)

erkennen.

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10:39 Uhr, 06.05.2023

cooler Ansatz HAL9000. Danke

1570631

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