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Mittelpunkt einer Kugel bestimmen

Schüler

Tags: Analytische Geometrie, Kugel, Mittelpunkt, Radius

Ni-ka aktiv_icon

21:23 Uhr, 28.03.2014

Hallo,

Ich hätte Probleme bei einer Anwendungsaufgabe zum Thema Kugeln.
Und zwar ist der Mittelpunkt einer Kugel gesucht, wobei ich den Radius von

3 m

und den Berührpunkt

(0 | 0 | 5)

mit der Ebene

x + 2 y + 2 z = 10

gegeben habe.
Die Gleichung der Tangentialebene lautet dann ja:

(12

2)*

[

x[vek]-(0

05)] = 0

Nun habe ich noch den Punkt

(2 | 4 | 0)

der Ebene in einer vorherigen Aufgabe ermitteln müssen.
Meine Idee war die Kugelgleichung darauf aufzustellen und daraus den Mittelpunkt zu errechnen, aber irgendwie komme ich an dieser Stelle nicht weiter:

K :

(0-xm)^2+(0-ym)^2+(5-zm)^2=3^2

Danke für eure Hilfe im Vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Paulus

21:45 Uhr, 28.03.2014

Hallo Ni-ka

aus der Ebenengleichung ergibt sich doch, dass der Vektor

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})

senkrecht zur Ebene steht. Damit liegt der Mittelpunkt der Kugel irgendwo hier:

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + t * (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})

Jetzt musst du nur noch

t

so bestimmen, dass der Abstand des Mittelpunktes vom Punkt

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array})

3 m

beträgt (Heisst m: Meter?)

Meiner Meinung nach kann

t

+ 1

oder

- 1

sein

Gruss

Paul

Ni-ka aktiv_icon

21:57 Uhr, 28.03.2014

Hallo Paulus,

Danke für Deine schnelle Antwort. Gedanklich war ich wohl schon auf dem richtigen Weg, wie Du mir bestätigst. Leider setzt genau da nun mein Problem ein...
Wie komme ich rechnerisch darauf? In welche Formel muss ich meinen Abstand dazu in Bezug setzen?

Und ja,

m

soll Meter bedeuten.

Danke nochmals :-)

DrBoogie aktiv_icon

22:04 Uhr, 28.03.2014

Nun, wenn Mittelpunkt von der Form

(0, 0, 5) + t * (1, 2, 2)

ist,
dann ist sein Abstand zu

(0, 0, 5)

einfach die Länge vom Vektor

t * (1, 2, 2)

,
also

∣ t ∣ * \sqrt{1 + 2^{2} + 2^{2}}

. Dieser Ausdruck muss jetzt =3 sein, woraus wie oben schon gesagt folgt, dass

t = 1

oder

t = - 1

sein muss.

Paulus

22:05 Uhr, 28.03.2014

Hallo Nika

jetzt weiss ich nicht genau, wo du noch Probleme hast.

Der Normalenvektor ist ja klar, oder?

Du musst nur mal seine Länge berechnen. Nach meiner Rechnung ist die Länge genau 3.

Darum für

t

+ 1

(auf der einen Seite der Ebene) und

- 1

(auf der anderen Seite der Ebene).

Deshalb die beiden Lösungen für den Mittelpunkt:

M_{1} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 7 \end{array})

und

M_{2} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array})

Ist es jetzt klar?

Gruss

Paul

Ni-ka aktiv_icon

22:16 Uhr, 28.03.2014

Ah, ich denke so komme ich weiter. Mein Problem war es in einen nachvollziehbaren Rechenweg zu verpacken. Ansonsten ist mir die Vorgehensweise eigentlich klar.
Welche der beiden möglichen Lösungen für den Mittelpunkt ich nun nehme, hängt wohl von der Aufgabenstellung ab. Da es sich um ein Kugelmodell handelt, welches auf einem Dach angebracht wurde, werde ich wohl eher

+ 1

wählen.

Vielen Dank für Eure Unterstützung!

Paulus

22:24 Uhr, 28.03.2014

Hallo Ni-ka

ja, dann würde ich auch diesen Punkt wählen.

Vielleicht noch folgende Bemerkung, welches für dich etwas mehr Erhellung bringen möge:

Der Ausdruck

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + t * (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})

ist eine Parameterdarstellung einer Geraden durch den Punkt

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array})

Mit einer Veränderung von

t

läuft der Punkt auf dieser Geraden. Bei

t = 1

ist er gerade um den Richtungsvektor gewandert, bei

t = 2

um das Doppelte etc.

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