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Monotonie

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Vollständig Induktion

WesleyCrusher aktiv_icon

16:56 Uhr, 24.11.2022

Hallo zusammen, ich will mit vollständiger Induktion zeigen, dass die rekursiv definierte Folge

a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{2}{a_{n}}

mit

a_{1} = 3

für alle

n \geq 1

monoton fallend ist.

Meine Lösung:

I-Anfang:

Sei

n = 1

. Dann ist

a_{1} = 3 \geq \frac{13}{6} = a_{1 + 1} = a_{2}

. Damit gilt der I-Anfang.

I-Annahme:

Sei

n \geq 1

und

a_{n} \geq a_{n + 1}

.

I-Schritt:

zz.:

a_{n} \geq a_{n + 1} \to a_{n + 1} \geq a_{n + 2}

Es gilt:

a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{2}{a_{n}} \geq

(I-Annahme)

\frac{a_{n + 1}}{2} + \frac{2}{a_{n + 1}} = a_{n + 2}

Frage: Ist das damit schon gezeigt? Stehe irgendwie gerade etwas auf dem Schlauch.

LG Wesley

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Kartoffelchipsman aktiv_icon

18:24 Uhr, 24.11.2022

Für die Folge

{(a_{n})}_{n \in N},

definiert durch

a_{1} := 3

und

a_{n + 1} := \frac{a_{n}}{2} + \frac{2}{a_{n}}

für alle

n \in N

gilt schon

a_{n} > 0

für alle

n \in N

(hier ohne Beweis und wichtig beim Hantieren und Schätzen).

Wir zeigen

1 < \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}

für alle

n \in N

und somit,

dass

{(a_{n})}_{n \in N}

streng monoton fallend ist.

1 < \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} = \frac{a_{n}}{\frac{a_{n}}{2} + \frac{2}{a_{n}}} = \frac{a_{n}}{\frac{a_{n}^{2} + 4}{2 \cdot a_{n}}} = \frac{2 \cdot a_{n}^{2}}{a_{n}^{2} + 4}

\Leftrightarrow

a_{n}^{2} + 4 < 2 \cdot a_{n}^{2}

\Leftrightarrow

a_{n}^{2} > 4

\Leftrightarrow

a_{n} > 2

.

Es gilt

a_{1} = 3 > 2

und für den Induktionsschritt

n \to n + 1

gilt wegen

a_{n} > 2

{(\sqrt{\frac{a_{n}}{2}} - \sqrt{\frac{2}{a_{n}}})}^{2} > 0

\Leftrightarrow

\frac{a_{n}}{2} - 2 + \frac{2}{a_{n}} > 0

\Leftrightarrow

a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{2}{a_{n}} > 2

WesleyCrusher aktiv_icon

19:36 Uhr, 24.11.2022

@Gilbert von Greiff

Ok, cooler Input.

Wäre es dann nicht einfacher, die Induktion einfach zu lassen und es direkt zu beweisen über den Quotienten (wie du es getan hast), oder die Differenz?

0 \geq a_{n + 1} - a_{n} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{2}{a_{n}} - a_{n} = ... = \frac{- a_{n}^{2} + 4}{2 \cdot a_{n}}

für alle

a_{n}^{2} \geq 4

\to

Für alle

a_{n} \geq 2

ist

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

monoton fallend (ist das dann die Begründung?)

LG Wesley

Kartoffelchipsman aktiv_icon

19:43 Uhr, 24.11.2022

Das gönnerische "OK" und Deine Bewertung
kannst Du Dir sparen.
Und wenn Du jemanden zum "dumm und dümmer" spielen suchst,
such Dir jemand anderen.
Komm wieder, wenn Du einfachste Aussagenlogik verstehst.

WesleyCrusher aktiv_icon

19:47 Uhr, 24.11.2022

@Gilbert von Greiff

Wieso gönnerisches "Ok" ??

Wie bitteschön hast du das jetzt interpretiert?

Um ein Missverständnis vorzubeugen:

Sorry!Du hast dass jetzt komplett falsch verstanden!
Ich bin dir dankbar für den Input. Deine erste Antwort hat mir sehr weitergeholfen.

PS: Ich versuche die einfachste Aussagenlogik ja zu verstehen, deswegen bin ich hier im Forum und stelle Fragen.

Meine "Bewertung" war eigentlich eine Rückfrage, weil ich mithilfe deiner Antwort erkannt hatte, dass Induktion eigentlich hier zu kompliziert ist.

LG Wesley

HAL9000

21:22 Uhr, 24.11.2022

Man könnte auch die explizite Formel

a_{n} = 2 \cdot \frac{5^{2^{n - 1}} + 1}{5^{2^{n - 1}} - 1} = 2 + \frac{4}{5^{2^{n - 1}} - 1}

durch Vollständige Induktion nachweisen, speziell der hinteren Darstellung sieht man dann die Monotonie leicht an.

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