Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Monotonie

Monotonie

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Vollständig Induktion

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
WesleyCrusher

WesleyCrusher aktiv_icon

16:56 Uhr, 24.11.2022

Antworten
Hallo zusammen, ich will mit vollständiger Induktion zeigen, dass die rekursiv definierte Folge an+1=an2+2an mit a1=3 für alle n1 monoton fallend ist.

Meine Lösung:

I-Anfang:

Sei n=1. Dann ist a1=3136=a1+1=a2. Damit gilt der I-Anfang.

I-Annahme:

Sei n1 und anan+1.

I-Schritt:

zz.: anan+1an+1an+2


Es gilt:

an+1=an2+2an (I-Annahme) an+12+2an+1=an+2

Frage: Ist das damit schon gezeigt? Stehe irgendwie gerade etwas auf dem Schlauch.

LG Wesley


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
Hellgrinder

Hellgrinder aktiv_icon

18:24 Uhr, 24.11.2022

Antworten
Für die Folge (an)nN, definiert durch

a1:=3 und an+1:=an2+2an für alle nN

gilt schon an>0 für alle nN

(hier ohne Beweis und wichtig beim Hantieren und Schätzen).

Wir zeigen 1<anan+1 für alle nN und somit,

dass (an)nN streng monoton fallend ist.


1<anan+1=anan2+2an=anan2+42an=2an2an2+4



an2+4<2an2



an2>4



an>2.

Es gilt

a1=3>2

und für den Induktionsschritt nn+1 gilt wegen an>2

(an2-2an)2>0



an2-2+2an>0



an+1=an2+2an>2.




WesleyCrusher

WesleyCrusher aktiv_icon

19:36 Uhr, 24.11.2022

Antworten
@Gilbert von Greiff

Ok, cooler Input.

Wäre es dann nicht einfacher, die Induktion einfach zu lassen und es direkt zu beweisen über den Quotienten (wie du es getan hast), oder die Differenz?

0an+1-an=an2+2an-an=...=-an2+42an für alle an24.

Für alle an2 ist (an)n monoton fallend (ist das dann die Begründung?)


LG Wesley
Antwort
Hellgrinder

Hellgrinder aktiv_icon

19:43 Uhr, 24.11.2022

Antworten
Das gönnerische "OK" und Deine Bewertung
kannst Du Dir sparen.
Und wenn Du jemanden zum "dumm und dümmer" spielen suchst,
such Dir jemand anderen.
Komm wieder, wenn Du einfachste Aussagenlogik verstehst.
WesleyCrusher

WesleyCrusher aktiv_icon

19:47 Uhr, 24.11.2022

Antworten
@Gilbert von Greiff

Wieso gönnerisches "Ok" ??

Wie bitteschön hast du das jetzt interpretiert?

Um ein Missverständnis vorzubeugen:

Sorry!Du hast dass jetzt komplett falsch verstanden!
Ich bin dir dankbar für den Input. Deine erste Antwort hat mir sehr weitergeholfen.


PS: Ich versuche die einfachste Aussagenlogik ja zu verstehen, deswegen bin ich hier im Forum und stelle Fragen.

Meine "Bewertung" war eigentlich eine Rückfrage, weil ich mithilfe deiner Antwort erkannt hatte, dass Induktion eigentlich hier zu kompliziert ist.

LG Wesley
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

21:22 Uhr, 24.11.2022

Antworten
Man könnte auch die explizite Formel an=252n-1+152n-1-1=2+452n-1-1 durch Vollständige Induktion nachweisen, speziell der hinteren Darstellung sieht man dann die Monotonie leicht an.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.