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Monotonie
Schüler Gymnasium,
Tags: kubische Funktion
 
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Hallo, Ich möchte das Monotonieverhalten der Funktion mit dem Monotoniesatz bestimmen. Berechne ich die Nullstellen der ersten Ableitung von stelle ich fest, dass an der Stelle eine doppelte Nullstelle ist. Somit kann ich aus dem MS folgern, dass in I -unendlich, und in unendlich) größer Null und somit in diesen Intervallen streng monoton steigend ist. Man sieht allerdings am Graphen von dass die Funktion überall (auf ganz streng monoton steigend ist. Ist die Lösung mit dem Monotoniesatz dann nicht irgendwie unzureichend? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo Du sprichst eben auch ein wenig in Rätseln. Auf der einen Seite betonst du die Intervalle -Unendlich; und Unendlich auf der anderen Seite behauptest du "überall (auf ganz streng monoton steigend ist." Was denn nun? Willst du dich mal über diese Stelle näher ein und auslassen? Was weißt du über diese Stelle? Was weißt du zur Definition von 'steng monoton steigend'? Was weißt du zur Definition von 'monoton steigend'? |
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Naja, wenn ich das Montonieverhalten der Funktion bestimmen soll (ohne das in der Aufgabe ein Intervall vorgegeben ist), dann gehe ich erstmal von ganz aus. In der Lösung haben wir allerdings den Monotoniesatz genutzt, um das Monotonieverhalten zu bestimmen. Strenge monoton steigend: Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn mit größer werdendem auch die Funktionswerte größer werden. Monoton steigend: Wenn und für alle dann ist monoton steigend.. |
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Hier findest Beispiele: de.serlo.org/mathe/1701/monotonieverhalten-berechnen |
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Irgendwie scheint es hier im onlinemathe mehr und mehr üblich zu werden, dass Fragen nicht beantwortet werden. So ein bisschen was zu Monotonie hast du ja von dir gegeben. Aber was weißt du nun über die Stelle ? Oder heisst Nicht-Beantworten automatisch dass man sich denken kann, dass eben mit viel Geblubber vertuscht werden will, dass eigentlich nicht so viel systematische Gewissheit besteht? Und zur Monotonie: Was ist nun der wesentliche Unterschied zwischen monoton steigend und streng monoton steigend? |
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Vielleicht war meine Stichelei vorhin wieder mal ein wenig zu direkt. Ich werde wohl meine Fragen wieder selbst beantworten müssen, in der Hoffnung, dass es ein wenig nützt. die "erste Ableitung . an der Stelle eine doppelte Nullstelle ist." Wenn die Ableitung den Wert Null hat, dann hat die Original-Funktion doch "keine" Steigung, Roman wird wieder drauf bestehen, eine verschwindende Steigung, in anderen Worten, die Steigung hat an der Stelle den Wert Null, in anderen Worten, die Tangente an diese Stelle ist waagrecht, (oder wie immer du das in Worte kleiden willst). Wenn ich in meine Worte fassen darf: Eine Definition der Eigenschaft 'monoton steigend' besagt, dass die Funktion im betrachteten Bereich (Intervall) nicht sinkt, präziser: ihre Ableitung stets größer oder gleich Null ist. Eine Definition der Eigenschaft 'streng monoton steigend' besagt, dass die Funktion im betrachteten Bereich (Intervall) konsequent steigt, präziser: ihre Ableitung stets größer als Null ist. Beachte: Der Unterschied zwischen 'monoton steigend' <und> 'streng monoton steigend' liegt also in monoton steigend: Steigung größer ODER gleich Null streng monoton steigend: Steigung (nur) GRÖßER als Null. Wolltest du deine Funktion also auf die Eigenschaft 'monoton steigend' untersuchen, dann wäre eine gute Antwort: Die Funktion ist im gesamten Bereich monoton steigend. (Begründung: Die Steigung ist ÜBERALL größer oder gleich Null.) Wolltest du deine Funktion also auf die Eigenschaft 'streng monoton steigend' untersuchen, dann wäre eine gute Antwort (wie schon von dir angerissen): Die Funktion ist in den Bereichen (Intervallen) -Unendlich sowie Unendlich streng monoton steigend, nicht aber an der Stelle . (Begründung: Die Steigung ist in den benannten Bereichen größer Null, an der Stelle aber gleich Null.) |
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Monotonie ist keine Eigenschaft von einzelnen Stellen der Funktion, sondern immer nur der Gesamtfunktion - oder wenigstens von Teilintervallen der Funktion. Eine Funktion ist übrigens auch dann streng monoton, wenn für alle BIS AUF ENDLICH (!) VIELE Ausnahmen gilt. Genau das ist hier der Fall, d.h., diese Funktion ist streng monoton wachsend auf ganz - ohne jede Ausnahme (auch nicht ). Wer das bestreitet, der nenne mir bitte im vorliegenden Fall zwei Argumente , wo NICHT gilt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Der Monotoniesatz, auf den hier immer Bezug genommen wurde, lautet gründlicher formuliert übrigens so: Eine auf dem Intervall stetige und auf differenzierbare Funktion ist streng monoton wachsend (und das bezieht sich auf das Gesamtintervall ), wenn für alle gilt. Das ist wohlgemerkt nur eine hinreichende Bedingung für strenge Monotonie, keine notwendige. Der Beweis ist ein schlichter Einzeiler unter Bezugnahme auf dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Im vorliegenden Fall bedeutet er, dass sowohl auf als auch auf streng monoton wachsend ist. In Kombination bedeutet dies, dass auf ganz streng monoton wachsend ist. EDIT (6.6.): Die fehlende Reaktion deute ich mal so, dass das Fehlverständnis des Monotoniebegriffs nun ausgeräumt wurde. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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