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Monotonie Folge nachweisen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

limes21 aktiv_icon

23:05 Uhr, 18.09.2023

Hallo,

ich würde gerne nachweisen, dass die Folge

sin (1) \cdot \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{2}}

monoton fallend ist.

Entsprechend also

\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{2}}

≥

\frac{\sqrt[n + 1]{n + 1!}}{{(n + 1)}^{2}}

ich habe hier schon mit diversen Umformungen angesetzt, die alle fruchtlos waren.

Ich würde mich über Hilfe freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

KartoffelKäfer aktiv_icon

06:35 Uhr, 19.09.2023

\frac{{(n!)}^{\frac{1}{n}}}{n^{2}} \geq \frac{{((n + 1)!)}^{\frac{1}{n + 1}}}{{(n + 1)}^{2}}

\Leftrightarrow

{(n!)}^{\frac{1}{n}} {(n + 1)}^{2} \geq {((n + 1)!)}^{\frac{1}{n + 1}} n^{2}

\Leftrightarrow

{(n!)}^{n + 1} {(n + 1)}^{2 n (n + 1)} \geq {((n + 1)!)}^{n} n^{2 n (n + 1)}

\Leftrightarrow

n! {(n + 1)}^{2 n (n + 1)} \geq {(n + 1)}^{n} n^{2 n (n + 1)}

\Leftrightarrow

n! {(n + 1)}^{n (2 n + 1)} \geq n^{n (2 n + 1)} n^{n}

\Leftrightarrow

{({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}^{2 n + 1} \geq \frac{n^{n}}{n!}

.

Mit

{({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}^{2 n + 1} ~ e^{2 n},

\frac{n^{n}}{n!} ~ \frac{e^{n}}{{(2 π n)}^{\frac{1}{2}}}

(☆)

und

e^{2 n} > \frac{e^{n}}{{(2 π n)}^{\frac{1}{2}}}

folgt, dass es ein

S \in N

gibt,

sodass

\frac{{(n!)}^{\frac{1}{n}}}{n^{2}} \geq \frac{{((n + 1)!)}^{\frac{1}{n + 1}}}{{(n + 1)}^{2}}

für alle

n \geq S

.

(☆)

Stirling:

n! ~ {(2 π n)}^{\frac{1}{2}} {(\frac{n}{e})}^{n}

HAL9000 aktiv_icon

09:01 Uhr, 19.09.2023

Ich bin zunächst genauso vorgegangen, habe es dann aber vorgezogen, die zur Behauptung äquivalente Ungleichung

n! \geq {(n + 1)}^{n} \cdot {(1 + \frac{1}{n})}^{- 2 n (n + 1)}

per Vollständiger Induktion nachzuweisen, wobei im Induktionsschritt

(n - 1) \to n

die Anwendung der Bernoullischen Ungleichung in Form von

{(1 - \frac{1}{n^{2}})}^{n} > 1 - \frac{1}{n}

das entscheidende Detail ist.

P.S.: Approximationen in Ungleichungsbeweise einfließen zu lassen ist immer etwas heikel - exakt argumentiert sollte man mit bewiesenen Schranken arbeiten.

KartoffelKäfer aktiv_icon

12:47 Uhr, 19.09.2023

Das oben passt schon, wobei das " ~ " das streng definierte

" asymptotisch gleich " meint. Allerdings habe ich insofern gepokert,

dass ich nicht erklären kann, wieso

{({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}^{2 n + 1} ~ e^{2 n}

gilt,

ich weiß nur, dass es so ist (wer weiß warum und erklärt es mir ?)...

Aber ist auch egal, weil auch ich hier nun

einen Induktionsbeweis präsentieren kann:

Zunächst gilt

\frac{{(n!)}^{\frac{1}{n}}}{n^{2}} \geq \frac{{((n + 1)!)}^{\frac{1}{n + 1}}}{{(n + 1)}^{2}}

\Leftrightarrow

{(n!)}^{\frac{1}{n}} {(n + 1)}^{2} \geq {((n + 1)!)}^{\frac{1}{n + 1}} n^{2}

\Leftrightarrow

{(n!)}^{n + 1} {(n + 1)}^{2 n (n + 1)} \geq {((n + 1)!)}^{n} n^{2 n (n + 1)}

\Leftrightarrow

n! {(n + 1)}^{2 n (n + 1)} \geq {(n + 1)}^{n} n^{2 n (n + 1)}

\Leftrightarrow

n! \geq {(n + 1)}^{n} {(\frac{n}{n + 1})}^{2 n (n + 1)}

.

Die letzte Ungleichung beweisen wir nun induktiv:

(I A)

Für

n = 1

gilt

1! = 1 \geq 2^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{8}

(I S)

Gelte die Behauptung für ein

n \in N (I V)

. Dann folgt

(n + 1)! = (n + 1) n! \geq (n + 1) ({(n + 1)}^{n} {(\frac{n}{n + 1})}^{2 n (n + 1)})

= {(n + 2)}^{n + 1} {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{n + 1} {(\frac{n}{n + 1})}^{2 n (n + 1)}

= {(n + 2)}^{n + 1} {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{4 (n + 1)} {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{3 (n + 1)} {(\frac{n + 1}{n + 2} \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}})}^{2 n (n + 1)}

= {(n + 2)}^{n + 1} {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{2 (n + 1) (n + 2)} {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{3 (n + 1)} {({(1 - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}})}^{n + 1})}^{2 n}

\geq {(n + 2)}^{n + 1} {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{2 (n + 1) (n + 2)} {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{3 (n + 1)} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{2 n}

= {(n + 2)}^{n + 1} {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{2 (n + 1) (n + 2)} {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{3 (n + 1)} {(\frac{n}{n + 1})}^{2 n}

\geq {(n + 2)}^{n + 1} {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{2 (n + 1) (n + 2)},

denn

{(\frac{n + 2}{n + 1})}^{3 (n + 1)} {(\frac{n}{n + 1})}^{2 n} = {(n + \frac{1}{n + 1})}^{n + 3} {(1 - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}})}^{2 n}

\geq 4 (1 - \frac{2 n}{{(n + 1)}^{2}}) = \frac{4 n^{2} + 4}{n^{2} + 2 n + 1} \geq \frac{2 n^{2} + 2 n + 4}{n^{2} + 2 n + 1} > 1

HAL9000 aktiv_icon

13:18 Uhr, 19.09.2023

Nach sorgfältiger Durchsicht aller Beweisschritte ist klar, dass man sogar das stärkere

\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \geq \frac{\sqrt[n + 1]{(n + 1)!}}{n + 1}

für alle

n \geq 1

nachweisen kann. Die äquivalente Umformung ergibt zunächt Behauptung

n! \geq {(n + 1)}^{n} \cdot {(1 + \frac{1}{n})}^{- n (n + 1)} (1)

Induktionsanfang

n = 1

ist trivial. Der Induktionsschritt sei

(n - 1) \to n

für

n \geq 2

(ist im vorliegenden Fall etwas weniger Schreibarbeit). Das

\overset{?}{\geq}

deutet die noch nachzuweisende Ungleichung an, damit der Induktionsschritt wie gewünscht funktioniert, und das wird anschließend äquivalent umgeformt, bis die Gültigkeit erkennbar ist:

n! = n \cdot (n - 1)! \overset{I V}{\geq} n \cdot n^{n - 1} \cdot {(1 + \frac{1}{n - 1})}^{- n (n - 1)} \overset{?}{\geq} {(n + 1)}^{n} \cdot {(1 + \frac{1}{n})}^{- n (n + 1)}

{(\frac{n}{n - 1})}^{- n (n - 1)} \overset{?}{\geq} {(1 + \frac{1}{n})}^{n - n (n + 1)}

{(\frac{n}{n - 1})}^{n - 1} \overset{?}{\leq} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

1 - \frac{1}{n} \overset{?}{\leq} {(1 - \frac{1}{n^{2}})}^{n}

Das ist direkt die erwähnte Bernoulli-Ungleichung.

KL700 aktiv_icon

13:48 Uhr, 19.09.2023

Mit welchem Kriterium könnte man zeigen, dass es eine Nullfolge ist?

www.wolframalpha.com/input?i=%28n%21%29%5E%281%2Fn%29%2Fn%5E2

HAL9000 aktiv_icon

13:53 Uhr, 19.09.2023

Da passt meine Umarbeitung des letzten Beitrags ja hervorragend dazu:

Wenn

b_{n} = \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}

als monoton fallend nachgewiesen ist, dann ist

a_{n} = \frac{b_{n}}{n}

wegen

0 < a_{n} \leq \frac{b_{1}}{n}

natürlich eine Nullfolge. ;-)

{(b_{n})}_{n = 1, 2, \dots}

ist übrigens keine, sondern konvergiert gegen

\frac{1}{e}

KartoffelKäfer aktiv_icon

13:57 Uhr, 19.09.2023

Perfekt, Danke !

Bei mir sollte in der vorletzten Zeile meines Beitrags zuvor

{(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 3}

statt

{(n + \frac{1}{n + 1})}^{n + 3}

stehen,

sorry...

Nebenbei, da der Thread ja nun beantwortet ist:

Wer weiß, warum

{({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}^{2 n + 1} ~ e^{2 n}

gilt

und

z . B

. nicht

{({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}^{2 n + 1} ~ e^{2 n + 1},

wie man naiv vermuten könnte, der fühle sich frei,

Licht ins Dunkle zu bringen...

KartoffelKäfer aktiv_icon

14:06 Uhr, 19.09.2023

Dass es ne Nullfolge ist, ist doch trivial:

\frac{{(n!)}^{\frac{1}{n}}}{n^{2}} \leq \frac{{(n^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{2}} = \frac{1}{n} \to 0 (n \to \infty)

HAL9000 aktiv_icon

15:02 Uhr, 19.09.2023

@Kartoffelkäfer

Du solltest dazu sagen, mit welcher Genauigkeit dein ~ gelten soll, etwa mit Landau-Symbolen garniert. Jedenfalls kommt man mit der Logarithmus-Potenzreihe

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + O (x^{3})

n (2 n + 1) \ln (1 + \frac{1}{n}) = n (2 n + 1) [\frac{1}{n} - \frac{1}{2 n^{2}} + O (\frac{1}{n^{3}})] = 2 n + O (\frac{1}{n})

und damit

{(1 + \frac{1}{n})}^{n (2 n + 1)} = e^{2 n + O (\frac{1}{n})} = e^{2 n} \cdot (1 + O (\frac{1}{n}))

.

Kann man natürlich auch noch weiter treiben, wenn man das will: Mit

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + O (x^{4})

landet man entsprechend bei

{(1 + \frac{1}{n})}^{n (2 n + 1)} = e^{2 n + \frac{1}{6 n} + O (\frac{1}{n^{2}})}

usw.

KartoffelKäfer aktiv_icon

20:52 Uhr, 19.09.2023

Asymptotisch gleich meine ich, genau so, wie ich es auch geschrieben habe:

{({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}^{2 n + 1} ~ e^{2 n} \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} \frac{{({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}^{2 n + 1}}{e^{2 n}} = 1

.

Ja, aber passt doch, Deine Erklärung, vielen Dank.

Das muss ich direkt mal anwenden:

n (5 n + 7) ln (1 + \frac{1}{n}) = n (5 n + 7) (\frac{1}{n} - \frac{1}{2 n^{2}} + O (\frac{1}{n^{3}}))

= (5 n + 7) (1 - \frac{1}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}}))

= 5 n + \frac{9}{2} + O (\frac{1}{n})

\Rightarrow

{({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}^{5 n + 7} ~ e^{5 n + \frac{9}{2}}

.

Und das stimmt sogar, cool, Danke !

limes21 aktiv_icon

21:10 Uhr, 19.09.2023

Hallo Hal,

was hast du hier gemacht? Ich kann die Umformung bei den letzten beiden Schritten nicht ganz nachvollziehen.

Bild ist im Anhang - wie zitiert man hier? Ich habe die Funktion nicht entdeckt.

HAL9000 aktiv_icon

21:19 Uhr, 19.09.2023

Ich multipliziere die obere Ungleichung mit

{(\frac{n - 1}{n})}^{n} = {(1 - \frac{1}{n})}^{n}

und nutze dann rechts

(1 + \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{1}{n}) = 1 - \frac{1}{n^{2}}

.

Links bleibt dann

{(\frac{n}{n - 1})}^{- 1} = \frac{n - 1}{n} = 1 - \frac{1}{n}

übrig.

limes21 aktiv_icon

22:11 Uhr, 19.09.2023

Hallo,

danke schon mal! :-)

Mir ist aber auch nicht klar, wie man auf die obere Ungleichung kommt. Konkret hänge ich noch bei der Version fest, die du vor deiner Überarbeitung stehen hattest.

Ich habe

n \Rightarrow n + 1

Induktionsschritt gewählt (zwar hast du erklärt, dass

n - 1 \Rightarrow n

einfacher ist, aber da wäre ich ad-hoc nicht drauf gekommen, deshalb wollte ich auf Teufel komm raus die Standard Methode wählen).

Ich schreibe mal von vorne auf, damit man besser nachvollziehen kann mit der Notation, auch wenn du diese Schritte ja eigentlich schon aufgeschrieben hast.

(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!

≥

(n + 1) \cdot {(n + 1)}^{n} \cdot {(\frac{n + 1}{n})}^{- 2 n (n + 1)} = {(n + 1)}^{(n + 1)} \cdot {(\frac{n + 1}{n})}^{- 2 n (n + 1)}

Jetzt die wichtige und noch zu beweisende Abschätzung auf das was wir am Ende zeigen wollen (ergo erhöhen wir die relevanten Indizes um

1,

also

+ 1)

{(n + 1)}^{(n + 1)} \cdot {(\frac{n + 1}{n})}^{- 2 n (n + 1)}

≥

{(n + 2)}^{n + 1} \cdot {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{- 2 (n + 2) (n + 1)}

Dividiere

{(n + 1)}^{n + 1}

und erhalte:

{(\frac{n + 1}{n})}^{- 2 n (n + 1)}

≥

{(\frac{n + 2}{n + 1})}^{(n + 1) - 2 (n + 1) (n + 2)}

Umgeschrieben zu

{(1 + \frac{1}{n})}^{- 2 n (n + 1)}

≥

{(1 + \frac{1}{n + 1})}^{(n + 1) - 2 (n + 1) (n + 2)}

dann müssen wir die Exponenten mit dem Minus irgendwie loswerden, weil unser Ziel ist es ja, die Voraussetzungen für die Bernoulli-Anwendung zu schaffen.

Was verstehe ich konkret nicht?:

\to

wir müssen ja irgendwie kürzen. Das ist aber doch nicht so ohne weiteres möglich, weil ja ledliglich

(n + 1)

eine Baiss darstellt, die beide Seiten gemeinsam haben. Hier sind aber auch nur die Exponenten

- 2 (n + 1)

gleich und sonst nichts.

Wie kürzen wir das dann aber trotzdem weg?

Kurz noch: ich habe wirklich darauf geachtet, nichts falsch abzutippen und extra vorher notiert. Es tut mir leid, sollten hier Flüchtigkeitsfehler entstanden sein. Das wäre insbesondere wegen der vielen

n' s

sehr nervig.

KartoffelKäfer aktiv_icon

00:20 Uhr, 20.09.2023

Der Fehlerteufel ist allgegenwärtig...

In HALs zweitem Beitrag fehlt der Faktor 2 im Exponent

(Es sollte dort

n! \geq {(n + 1)}^{n} {(1 + \frac{1}{n})}^{- 2 n (n + 1)}

statt

n! \geq {(n + 1)}^{n} {(1 + \frac{1}{n})}^{- n (n + 1)}

stehen).

Die Rechnung wird nicht viel anders,

hier meine

n - 1 \to n -

Version (von HALs Version):

n! = n (n - 1)! \geq n (n^{n - 1} {(1 + \frac{1}{n - 1})}^{- 2 (n - 1) n}) = n^{n} {(1 + \frac{1}{n - 1})}^{- 2 (n - 1) n}

.

Nun zu zeigen:

n^{n} {(1 + \frac{1}{n - 1})}^{- 2 (n - 1) n} \geq^{!} {(n + 1)}^{n} {(1 + \frac{1}{n})}^{- 2 n (n + 1)}

{(1 + \frac{1}{n - 1})}^{- 2 (n - 1) n} \geq^{!} {(1 + \frac{1}{n})}^{n - 2 n (n + 1)}

" hoch

- \frac{1}{n}

{(1 + \frac{1}{n - 1})}^{2 (n - 1)} \leq^{!} {(1 + \frac{1}{n})}^{- 1 + 2 (n + 1)}

{(\frac{n}{n - 1})}^{2 n - 2} \leq^{!} {(\frac{n + 1}{n})}^{2 n + 1}

{(\frac{n}{n - 1})}^{- 2} \leq^{!} (\frac{n + 1}{n}) {(\frac{n - 1}{n} \frac{n + 1}{n})}^{2 n}

{(\frac{n - 1}{2})}^{2} \leq^{!} (\frac{n + 1}{n}) {({(1 - \frac{1}{n^{2}})}^{n})}^{2}

{(1 - \frac{1}{n})}^{2} \leq (\frac{n + 1}{n}) {(1 - \frac{1}{n})}^{2}

.

Und hier das gleiche noch als

n \to n + 1 -

Version für limes21:

(n + 1)! = (n + 1) n! \geq (n + 1) ({(n + 1)}^{n} {(1 + \frac{1}{n})}^{- 2 n (n + 1)}) = {(n + 1)}^{n + 1} {(1 + \frac{1}{n})}^{- 2 n (n + 1)}

.

Nun zu zeigen:

{(n + 1)}^{n + 1} {(1 + \frac{1}{n})}^{- 2 n (n + 1)} \geq^{!} {(n + 2)}^{n + 1} {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{- 2 (n + 1) (n + 2)}

{(1 + \frac{1}{n})}^{- 2 n (n + 1)} \geq^{!} {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{(n + 1) - 2 (n + 1) (n + 2)} (

" hoch

- \frac{1}{n + 1}

" )

{(1 + \frac{1}{n})}^{2 n} \leq^{!} {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{(- 1 + 2 (n + 2))}

{(\frac{n + 1}{n})}^{2 n} \leq^{!} {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{2 n + 3}

{(\frac{n}{n + 1})}^{2} {(\frac{n + 1}{n})}^{2 n + 2} \leq^{!} (\frac{n + 2}{n + 1}) {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{2 n + 2}

{(\frac{n}{n + 1})}^{2} \leq^{!} (\frac{n + 2}{n + 1}) {(\frac{n}{n + 1} \frac{n + 2}{n + 1})}^{2 n + 2}

{(1 - \frac{1}{n + 1})}^{2} \leq^{!} (\frac{n + 2}{n + 1}) {({(1 - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}})}^{n + 1})}^{2}

{(1 - \frac{1}{n + 1})}^{2} \leq^{!} (\frac{n + 2}{n + 1}) {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{2}

HAL9000 aktiv_icon

04:13 Uhr, 20.09.2023

> In HALs zweitem Beitrag fehlt der Faktor 2 im Exponent

Der fehlt NICHT, da ich dort ja die ANDERE Ungleichung

\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \geq \frac{\sqrt[n + 1]{(n + 1)!}}{n + 1} (*)

nachweise. Die ist schärfer als die ursprünglich nachzuweisende Ungleichung, denn letztere folgt mit (*) sehr leicht:

\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{2}} \overset{(*)}{\geq} \frac{\sqrt[n + 1]{(n + 1)!}}{(n + 1) n} > \frac{\sqrt[n + 1]{(n + 1)!}}{{(n + 1)}^{2}}

.

Wo auch immer also der Fehlerteufel hier im Thread zu Werke ist: An dieser Stelle ist er es NICHT!!!

KartoffelKäfer aktiv_icon

06:16 Uhr, 20.09.2023

Oh, Entschuldigung vielmals,

nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil.

Aber zumindest hat limes21 jetzt eine

kleine Schablone für seine

n \to n + 1

Version

mit der schwächeren Ungleichung

\frac{n^{\frac{1}{n}}}{n} \geq \frac{{(n + 1)}^{\frac{1}{n + 1}}}{n + 1}

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