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Monotonie einer Funktion / Bijektivität nachweisen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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17:54 Uhr, 19.01.2015

Folgende Funktion ist gegeben:

g :

]

1,unendlich[

\to] 0, e^{- 1} [

g (x) = x \cdot e^{- x}

Zeigen Sie, dass

g

bijektiv ist:

Meine Vorgehensweise: Wir wissen dass

x

sowie

e^{- x}

stetig sind. Weiters wissen wir das die Verkettung, sprich das Produkt von stetigen Funktionen auch wieder stetig ist.

Nun wird

g (x)

abgeleitet:

(g' (x)

wurde bereits vereinfacht. )

g' (x) = e^{- x} \cdot (1 - x)

\to

Daraus ist ersichtlich dass die Ableitung streng monoton fallend ist. Somit haben wir eine stetige Funktion, welche streng monoton fallend ( oder ist die Funktion dann streng monoton steigend? ) ist.

Aufgrund vom bekannten Zwischenwertsatz, wissen wir nun, dass wenn

g (x)

stetig ist und streng steigend bzw. streng fallend im genannten Intervall - wird jeder Wert innerhalb des Intervalls exakt 1-Mal angenommen. ( da streng steigend bzw. streng fallend.

) \to

Somit ist

g (x)

injektiv, surjektiv

\to

also bijektiv

Ist die Vorgehensweise korrekt?

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)