 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Monotonie f(x)=4x+x²
Monotonie f(x)=4x+x²
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
|
anonymous 19:25 Uhr, 21.04.2005  |
|
|---|---|
|
Hallo, komm irgendwie nicht weiter....... Die Aufgabe lautet: Bestimme rechnerisch die Intervalle in denen f monoton ist. Skizziere der Graphen von f. a) f(x)= 4x+x² b) f(x)= 1/3x³-9x+1 c) f(x)= -1/8x^4+4x d) f(x)= Wurzel von x - 2 e) f(x)= 1/16x^5-15/32x^4+5/6x^3 f) f(x)= 1/6x³+2x nun die Aufgabe b habe ich gelöst in dem ich zunächst die 1. Abletung gezogen habe: f'(x)= x²-9 dann habe ich x²-9=0 gesetzt und x rausgerechnet x²=9, also x= + oder - wurzel von 9 also X1=3) und X2=-3 jetzt die gefundenen Werte in die Funktion einsetzen und Y finden und dann die Zeichnung fertigen! Weiter bin ich leider nicht gekommen und ich brauch ja noch die Lösung für a, c,d,.......... bin für jede Erklärung dabkbar, Stella |
|
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff) | |
| |
anonymous 20:31 Uhr, 21.04.2005 |
|
| Weißt du überhaupt was Monotonie ist?! | |
anonymous 20:51 Uhr, 21.04.2005 |
|
|
Ich mache das mal beispielhaft für a) und d) vor, damit du nicht ganz in der Luft hängst :) : Eine Funktion heißt monoton auf einem Intervall, wenn die Steigung auf diesem Intervall entweder >=0 (steigend) oder <=0 (fallend) ist. Die Ableitung gibt ja lustigerweise die Steigung an. ;) a)4x+x^2 => f'(x)= 2x + 4 Nullstelle liegt bei -2. An der Stelle geht der Graph somit vom Fallen ins Steigen über. Also: Monoton steigend auf [-2,oo), monoton fallend auf (-oo,-2] d) f(x)=sqrt(x-2) => f'(x) = 1/(2*sqrt(x-2)) Da die Funktion nur auf IR definiert sein kann, ist der Definitionsbereich gleich [2,oo). f' ist definiert auf I=(2,oo), die 2 ist also hier nicht dabei. Da die Wurzel immer positiv ist, ist f'(x) auf I auch überall positiv und ungleich 0. Also ist f auf (2,oo) streng monoton steigend. Die Steigung im Punkt 0 kann man nicht angeben (man könnte höchstens sagen, sie ist unendlich groß) |
|
|
|
|
|
Hallo, vielen Dank für deine Antwort! Mit der Definition Monotonie komme ich klar und auch das Ableiten und das Zeichnen der Graphe macht mir Spaß! Ich habe eher ein Problem mit dem Rechenweg :0( Bei a) kam ich auch auf (-2,0), aber wie kommst du auf (-0,2)? Und wie löse ich e), soll ich mehrmals ableiten? Klingt irgendwie falsch!?!?! Bitte nochmals um Hilfe..... Danke, Stella |
|
anonymous 19:10 Uhr, 22.04.2005 |
|
|
Hallo nochmal, Erstens mal, sollte "-oo" "minus unendlich heißen", das Intervall ist also nach unten unbeschränkt. ("oo" heißt dann nach oben unbeschränkt). Die Funktion ist ja eine Polynomfunktion und man kann sich leicht überlegen, dass es keine grenzwerte gibt, dass die Funktionswerte also tatsächlich immer größer werden, je größer der Betrag der x-Werte ist. Von daher sehen die beiden Intervalle tatsächlich genauso aus, wie ich gesagt habe, da bei -2 der Scheitelpunkt der Parabel liegt (war mir da für eine Sekunde auch auf einmal unsicher... ;) ). Man sieht das ja auch an der Skizze. Beachte übrigens die Intervallschreibweise! Wenn du I= (a,b) schreibst, sind a und b nicht im Intervall enthalten. Man schreibt dann [a,b]. In unserem Beispiel ist -2 in beiden enthalten, weil ja nur normale Monotonie gefordert war und keine strenge. Ansonsten wäre -2 in beiden nicht enthalten, weil die Steigung in -2 ja 0 ist. Zu e): Mehrmals ableiten bringt hier nichts, da nur die erste Ableitung die Steigung von f(x) angibt. Die zweite Ableitung würde dann die Steigung von f' angeben, aber das hilft ja nicht weiter... :) Du leitest, wie gehabt, einmal ab. Du hast dann ein Polynom vom Grad 4. Die Nullstellen kann man ganz schön berechnen, wenn man x^2=z setzt. Du hast dann ein "normales" Polynom 2ten Grades (P-Q-Formel anwendbar). Die Methode kennst du aber sicherlich. (Substitution). Du erhälst jedenfalls ein paar Nullstellen, wo sich dann jeweils die Steigung ändert. Das ist aber die mit Abstand unschönste Aufgabe... :) P.S. Schön, dass dir Ableiten und Graphen zeichnen Spaß macht. Es wäre zwar noch wesentlich schöner, wenn du dich für die Hintergründe interessieren würdest, oder noch besser wenn ihr das gar in der Schule beigebracht bekämt. (aber dann wäre dieses Forum ja sinnlos, weil keiner mehr solche Fragen stellen würde, weil sich jeder die Lösungen selbst herleiten könnte...) Soll jetzt keine Kritik an dir sein, du bist ja auch nur ein Opfer des "Rechenunterrichts". :) |
|
|
|
|
|
Danke noch mal, so weit so gut, aber nach der 1. Ableitung von e) komme ich auf 5/16x^4-60/32x^3+15/6x^2 wie meinst du denn das: x^2=z setzen? Das kenne ich ja garnicht!:0((( Stella |
|
anonymous 15:28 Uhr, 23.04.2005 |
|
|
Ich hab da auch Mist geschrieben. Das funktioniert hier erstens nicht und zweitens, ist es viel einfacher. ;) Du klammerst einfach x^2 aus und erhälst dann: x^2 * (5/16 x^2 - 15/8 x + 5/2) = 0 Daraus folgt dann direkt, dass 0 eine Nullstelle sein muss, denn wenn x^2=0 ist ist auch der ganze Term gleich 0. Du musst also nur noch die Nullstellen(n) vom quadratischen Polynom in der Klammer bestimmen (PQ-Formel!) |
|
|
|
|
|
Na jetzt wird´s mir klar....... dachte Ausklammern darf ich nur im unabgeleiteten zustand und das hatte ja nicht geklappt (hatte ich schon versucht). Dann kann ich das ja bei der anderes auch so ähnlich behandeln...... eigentlich klar, aber man hat ja auch schon mal ein Brett vorm Kopf..... Gott sei dank, dass es ja Engel wie dich gibt, die einem darann erinnern, dass es ja eigentlich immer eine logisch-, in diesem Fall, matematische Lösung gibt.... werd jetz mal rechnen gehen..... Danke..... ciao, Stella |
|
|
|
|
|
Also, klappt mit c) und f) aber nicht.... Hab's so versucht: c): f'(x)= -1/2x^3+4 da 4 ohne x da steht, kann ich x nich ausklammern und kann somit die PQ-Formel nicht anwenden f): f'(x)= 1/2x^2+2 demnach 1/2x^2=-2 x^2=-2*2 x^2=-4 und nun kann ich die Wurzel nicht ziehen, da -4 ja negativ ist! Was mache ich da? Verloren und verzweifelt :0( Stella |
|
anonymous 18:41 Uhr, 23.04.2005 |
|
|
Kein Problem: zu c): Du kannst umformen zu x^3= -8. Und die Gleichung hat eine eindeutige Lösung. Bei d) gibt es dann eben keine reelle Lösung (komplexe natürlich schon). Du hast also keine Monotonieveränderung (genau um das zu überprüfen, untersuchst du die Ableitung ja auf Nullstellen - nicht vergessen!). Das ist aber auch so klar, da Polynomfunktionen dritten Gerades immer monoton steigend sind auf ganz IR. Hoffe, du bist jetzt restlos bedient. ;) Versuch aber wirklich nochmal, dir die Hintergründe einigermaßen klar zu machen, dann musst du dir auch keine Rezepte merken, sondern kannst dir selbst herleiten, was man tun muss und warum. |
|
 |
|
| Super, Danke noch mal |
446133
446123