Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Monotonie und Konvexität einer Funktion

Monotonie und Konvexität einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion, Konkavität, Konvexität

Random aktiv_icon

16:19 Uhr, 31.05.2009

Ich habe die Funktion

f (x) = \ln (1 + e^{x})

gegeben. Nun soll ich untersuchen, ob die Funktion auf R monoton und konvex oder konkav ist. Dazu soll ich noch die Ungleichung

\ln (1 + e^{x}) \geq \ln 2 + \frac{x}{2}

beweisen(

x \in R

).

Für Monotonie schau ich mir die 1.Ableitung an:

f ʹ (x) = \frac{1}{1 + e^{x}} * e^{x}

e^{x} \geq 0

ist, muss auch

\frac{1}{1 + e^{x}} * e^{x} \geq 0

sein. Das heißt, dass die Funktion monoton steigend ist.
Für Konvexität schaue ich mir f''(x) an.

f ʺ (x) = \frac{1}{1 + e^{x}} * e^{x} + e^{2 x}

Die 2. Ableitung ist auch immmer

\geq 0

, also ist die Funktion konvex.
Stimmen diese Überlegungen?

Wie beweise ich nun die Ungleichung?
Es gibt die Abschätzung

e^{x} \geq 1 + x

, also

\ln (1 + e^{x}) \geq \ln (1 + (1 + x)) =

\ln (2 + x) = \ln (2 * (1 + \frac{x}{2})) = \ln 2 + \ln (1 + \frac{x}{2})

Wie komme ich jetzt auf die obige Form?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pleindespoir aktiv_icon

01:41 Uhr, 01.06.2009

Grundsätzlich richtig. Es empfiehlt sich sofern irgend möglich die Funktion und ihre Ableitungen darzustellen:

pleindespoir aktiv_icon

02:07 Uhr, 01.06.2009

Voraussetzung als bereits bewiesen gegeben:

e^{x} \geq 1 + x

Annahme:

l n (1 + e^{x}) \geq l n 2 + \frac{x}{2}

e^{(l n (1 + e^{x}))} \geq e^{(l n 2 + \frac{x}{2})}

e^{l n 1} \cdot e^{e^{x}} \geq e^{l n 2} \cdot e^{\frac{x}{2}}

1 \cdot e^{e^{x}} \geq 2 \cdot e^{\frac{x}{2}}

e^{e^{x}} \geq e^{\frac{x^{2}}{2}}

e^{x} \geq \frac{x^{2}}{2}

2 \cdot e^{x} \geq x^{2}

e^{x^{2}} \geq x^{2}

subtituiere

z = x^{2}

e^{z} \geq z

e^{x} \geq 1 + x

gälte

e^{z} \geq z + 1

und

z < z + 1

gilt

e^{z} \geq z

erst recht!

q.e.d.

Random aktiv_icon

10:21 Uhr, 01.06.2009

e^{\ln (1 + e^{x}) \geq e^{\ln 2 + \frac{x}{2}}}

e^{\ln 1} * e^{e^{x}} \geq e^{\ln 2} * e^{\frac{x}{2}}

darf man das denn machen? die rechenregel für den logarithmus besagt ja nur, dass

\ln (a * b) = \ln a + \ln b

BjBot aktiv_icon

11:16 Uhr, 01.06.2009

@ Random

Du hast vollkommen Recht, keine Ahnung was er da versucht hat, bzw scheint er deinen Beitrag auch nicht wirklich sorgfältig gelesen zu haben.

Zu deinem Beitrag oben:

Erstmal gilt nicht

e^{x} \geq 0

denn der Graph einer Exponentialfunktion verläuft ja immer OBERHALB der x-Achse, der Wert null wird demnach nie angenommen. Deswegen also lediglich

e^{x} > 0

Deine 2. ABleitung ist in meinen Augen falsch, wie kamst du darauf ?

Darfst du für deine Abschätzung eigentlich schon eine gegebene voraussetzen ?
Man könnte es auch so zeigen, dass der rechte Term eine Tangente an den Graphen des linken Terms an der Stelle x=0 ist, denn aus der Monotonie und der Konvexität folgt, dass das dann auch der einzige gemeinsame Punkt sein muss.

Random aktiv_icon

17:24 Uhr, 01.06.2009

Die 1. Ableitung ist

f ʹ (x) = \frac{1}{1 + e^{x}} * e^{x} = (1 + e^{x})^{- 1} * e^{x}

f ʺ (x) = (- 1) * (1 + e^{x})^{- 2} * e^{x} + (1 + e^{x})^{- 1} * e^{x} = \frac{- e^{x}}{(1 + e^{x})^{2}} + \frac{e^{x}}{(1 + e^{x})} = \frac{- e^{x} + e^{x} + e^{2 x}}{(1 + e^{x})^{2}} = \frac{e^{2 x}}{(1 + e^{x})^{2}}

Ist das so richtig? Dann wäre die Funktion konvex (hatte falsch gerechnet aber wohl das "richtige" ergebnis ;-) )

Kann man die Ungleichung auch durch Umformungen beweisen?
Kann man die Ungleichung ohne diese Abschätzung(

e^{x} \geq 1 + x

) beweisen?

617106

616678

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?