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Monotonieverhalten, Funktion 4. Grades
Schüler Fachoberschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Monotonieverhalten
 
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Aufgabestellung: Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktion Ich habe im Unterricht noch nie verstanden, wie ich das berechnen muss. Irgendwas war da glaube mit der ersten Ableitung. Wenn Ihr mir den Rechenweg schreiben könntet, wäre ich sehr dankbar. |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo Sweetgirly, wie ist das eigentlich mit der Stammfunktion (Stetigkeit!!! und Konstante addieren) ausgegangen? Gruß Rentnerin Wenn Du die erste Ableitung von Deiner Funktion bildest, kannst Du ausklammern und den Term noch in zerlegen. Es gilt also ist nun in allen Bereichen streng monoton steigend, für die positiv ist (entsprechend streng monoton fallend, wenn negativ ist). wechselt an jeder Nullstelle und das Vorzeichen und ist für sicher positiv; damit ist zwischen 2 und 3 negativ, zwischen 0 und 2 postiv und für negativ. |
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Ich brauche immernoch Hilfe!!! Also ich musste nur und hinschreiben, gar nix berechnen. Habe trotzdem volle Punktzahl bekommen. |
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Habe die Lösung an meine erste Antwort angehängt! |
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Oksy danke, ich schaue es mir jetzt mal an. |
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Irgendwie kann ich das immernoch nicht ganz nachvollziehen, wie du zu diesem Entschluss gekommen bist. Woran erkenne ich bzw an welchem Wert stehe ich, in welchem Intervall die Funktion monoton steigend bzw fallend ist?!
Ich muss ja am Ende schreiben, ist monoton steigend /fallend im Intervall |
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Bin gleich auf dem Weg ins Theater; helfe Dir gerne später, falls sich inzwischen niemand anderer finden sollte. Gruß Rentnerin |
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Okay, vielleicht findet sich ja noch jemand in der Zeit. Viel Spaß beim Theater! |
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Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens hilft Dir die 1. Ableitung weiter, die die Tangentensteigung liefert. Eine Funktion steigt streng monoton, falls positive Tangentensteigungen vorliegen und umgekehrt. Deine Aufgabe besteht also darin, diejenigen Bereiche des Definitionsbereichs herauszufinden, in denen die 1. Ableitung positiv/negativ wird.
Nach den bekannten Regeln findest Du heraus: Meistens ist es viel schwieriger, bei einer Summe herauszufinden, wann sie positiv oder negativ ist. Daher ist es häufig vorteilhaft, die Summe in ein Produkt umzuwandeln. Der erste Schritt ist immer das Ausklammern. Natürlich bleibt dann in der Klammer wieder eine Summe übrig. Diese Summe versuchst Du nun weiter zu faktorisieren. In diesem Beispiel löst Du die quadratische Gleichung und erhältst und . Damit wird der quadratische Term in ein Produkt zerlegt: und es folgt Das Produkt enthält nur noch Linearfaktoren. Das Vorzeichen von läßt sich nun sehr leicht bestimmen. Die Nullstellen von sind die Nullstellen der einzelnen Linearfaktoren; es sind die Kandidaten, an denen das Vorzeichen wechseln kann. Weil alle Linearfaktoren den Exponent 1 (ungerade!!!) haben, wechselt bei allen Nullstellen das Vorzeichen!!! Nun schreibst Du Dir die Nullstellen in aufsteigender Reihenfolge auf: und beginnst rechts von der größten Nullstelle. Für ist jeder Faktor positiv, also auch . Im Bereich ist streng monoton steigend. Für ist der dritte Faktor negativ, alle anderen sind positiv. Dort ist also negativ. Im Bereich ist streng monoton fallend. Für sind die beiden rechten Faktoren negativ, das Produkt also positiv. Dort ist damit auch positiv. Im Bereich ist streng monoton steigend. Für sind die drei Linearfaktoren negativ, was dann auch für das Produkt zutrifft. Dort ist negatv. Im Bereich ist streng monoton fallend. Gruß Rentnerin |
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