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Monotonieverhalten einer Wurzelfunktion

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Monotonieverhalten, polynom

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19:10 Uhr, 18.04.2014

Hallo ihr Lieben,

ich habe eine Frage zu der Vorgehensweise bei folgender Funktion;

f (x) = 2 \cdot {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}

Gefragt wird nach den beiden ersten Ableitungen und dem Monotonieverhalten der Funktion.

Die ersten beiden Ableitungen habe ich gebildet;

f, (x) = \frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}

f,, (x) = \frac{- 4}{9 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}}

Frage war nach Monotonie und ob die Funktion konkav oder konvex sei.

Die 2. Ableitung müsste für alle Werte größer als

x = 3

ja konkav sein, da die 2.Ableitung dann negativ ist.
Für alle Werte kleiner als

x = 3

ist die Funktion konvex.

Ist mein Gedankengang so richtig?

Ich habe ja keine Extremstellen, die ich in die 2. Ableitung einsetzen und als Hoch oder Tiefpunkte ermitteln könnte.

Wie würde ich die Frage der Monotonie umschreiben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

pwmeyer aktiv_icon

19:20 Uhr, 18.04.2014

Hallo,

die erste Ableitung ist (für

x \neq 3)

positiv, also ist die Funktion überall wachsend.

Imübrigen ist die Funktion ja die Umkehrfunktion von

x \mapsto x^{3} -

verschoben und skaliert

-,

so dass der Graph eigentlich klar ist und Deinen Ergebnissen entspricht.

Gruß pwm

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19:39 Uhr, 18.04.2014

Hallo, vielen Dank für deine schnelle Antwort pwm. Die erste Ableitung ist ja aber nur für

x

Werte größer als 3 positiv. Ansonsten ja negativ. Deswegen ja mein Gedankengang zu konkav und konvex.

Ist

x = 3

eine Nullstelle? Eigentlich müsste es doch so sein, denn

2 \cdot {(0)}^{\frac{1}{3}} = 0

An dieser Stelle würde die Funktion, dann von konvex auf konkav übergehen.

Abier wie beantworte ich nun die Frage....streng monoton steigend bzw. monoton steigend. Oder fallend?

Die Definitionen dieser Begriffe sind mir klar. Wie mache ich eine Aussage, ob die Steigung immer wächst oder an einer Stelle=0 ist.

Ich habe ja keine Wendepunkte, oder?

Die Ableitungen sind für

x = 3

ja nicht definiert.

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19:44 Uhr, 18.04.2014

Normalerweise würde ich ja die Extrema in die 2.Ableitung einsetzen.
Ich konnte aber keine Extrema ermitteln.
Das heißt ich kann nichts in die 2.Ableitung einsetzen.

Was tue ich in so einem Fall?

pwmeyer aktiv_icon

19:52 Uhr, 18.04.2014

Hallo,

" Die erste Ableitung ist ja aber nur für

x

Werte größer als 3 positiv. Ansonsten ja negativ." Nein, das ist falsch:

- Lass Dir einige Werte Deiner Ableitung ausrechnen, oder
- Versuche meinen Hinweis auf die Umkehrfunktion zu verstehen, oder
- Lass Dir Deine Funktion plotten

Gruß pwm

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19:58 Uhr, 18.04.2014

Ah richtig. Ich habe nicht bedacht, dass ich das negative Vorzeichen nehmen muss, wenn ich rechne. Da es ja unterm Bruchstrich stand. Danke für deine Hilfe!!!

Da die erste Ableitung der Funktion nun für alle WErte ungleich

x

positiv ist, kann ich davon ausgehen, dass die Steigung der Funktion immer positiv ist.

Das heisst, dass sie immer streng monoton steigt. Ist das richtig?

Denn die Werte ungleich

x

müssten ja immer größer als null sein. Also streng steigend.

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20:08 Uhr, 18.04.2014

wenn ich in meinen Rechner eingebe

3 {(x - 3)}^{- \frac{2}{3}}

und Werte kleiner als 3 einsetze erhalte ich aber negative Werte ?

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20:13 Uhr, 18.04.2014

Zudem kriege ich es irgendwie nicht hin die Umkehrfunktion zu bilden.

Ich käme auf

0,5 x^{3} + 3 = y

Kannst du mir den richtigen Rechenweg noch einmal verdeutlichen, dafür wäre ich dir wirklich dankbar. Vielen Dank für die bisherige Hilfe!

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21:17 Uhr, 18.04.2014

Ist die Umkehrfunktion von mir richtig?

ICh würde nur gerne wissen wie du darauf kommst, dass die erste Ableitung für alle

x

WErte ungleich 3 positiv ist.

Danke im Voraus!

rundblick aktiv_icon

22:36 Uhr, 19.04.2014

y = 2 \cdot {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}

"
Ist die Umkehrfunktion von mir richtig?"

\to

nein

\to

die Umkehrfunktion ist

y = \frac{1}{8} x^{3} + 3

"
ICh würde nur gerne wissen wie du darauf kommst,
dass die erste Ableitung für alle

x

WErte ungleich 3 positiv ist. "

\to

weil dann

{(x - 3)}^{2} > 0

für alle

x \neq 3, x \in R

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14:45 Uhr, 20.04.2014

Hallo rundblick,

Vielen Dank für deine hilfreiche Antwort.
Mein Fehler beim Bilden der Umkehrfunktion ist mir nun klar.

Allerdings habe ich noch eine Frage, zu dem Thema, dass die erste Ableitung immer positiv sei.

Die ersten beiden Ableitungen habe ich gebildet;

f, (x) = \frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}

wenn ich im Rechner einen negativen Wert mit der Potenz

- \frac{3}{2}

oder auch plus

\frac{3}{n} 2

eingebe, erhalte ich ein negatives Ergebnis.

Kannst du mir, dass nochmal erklären? Ich muss doch auch Werte die kleiner als 3 sind bzw. negative Werte einsetzen.
Ein Ableitungsrechner sagt mir, dass die Funktion für die negativen Werte gar nicht definiert ist.

Hoffe auf deine Hilfe!

rundblick aktiv_icon

18:31 Uhr, 20.04.2014

\to

entsorge die Rechner und DENKE schlicht selbst ganz ohne diese unbrauchbaren Dinger:

{(x - 3)}^{\frac{2}{3}} .

. bedeutet:

\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}

und : das Quadrat von einer Zahl, zB: von

(x - 3)

ist doch bekanntlich immer

\geq 0 . .

. oder?

also:
die dritte Wurzel aus einer positiven Zahl ist garantiert eine positive reelle Zahl

wo ist da dann überhaupt noch ein Problem ?

ok?

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20:36 Uhr, 20.04.2014

Hallo rundblick,

Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld!
War super hilfreich. Hab es jetzt gecheckt. :-)

Danke und Frohe Ostern!

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