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N-te Wurzel komplexer Zahl

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Anfang, anfnagsbedingung, Angewandte Lineare Algebra, Ingenieur, Komplexe Zahlen, Mathematik, Studium, univerisität

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14:38 Uhr, 19.11.2020

Hallo,

wie bestimme ich alle möglichen Werte folgender komplexen Zahl:

\sqrt[3]{2 + i}

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

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14:48 Uhr, 19.11.2020

www.youtube.com/watch?v=YsdvCMSwNIE

www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2Bi%29%5E%281%2F3%29

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18:23 Uhr, 19.11.2020

Danke sehr. :-)

rundblick aktiv_icon

18:30 Uhr, 19.11.2020

.
also: welches sind denn nun bei dir die Lösungen von

\to z^{3} = 2 + i

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18:44 Uhr, 19.11.2020

Ich habe herausbekommen

z = 5^{\frac{1}{6}} \cdot e^{8,85 i}

Ist das korrekt?

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18:59 Uhr, 19.11.2020

.
" Ist das korrekt? "

1)

\to

der Betrag ist mit

5^{\frac{1}{6}}

richtig

\to

der Winkel ist im Gradmass ( 8,855°) auch richtig
ABER in der Eulerdarstellung wird das BOGENMASS des Winkels verwendet (schon vergessen?)

2)

du hast die Aufgabe nur zum Teil richtig gelöst :
es gibt noch zwei andere komplexe Zahlen als Lösung für deine Aufgabe "dritte Wurzel" aus

2 + i

( das

\sqrt{}

-Zeichen ist in

ℂ

nicht wie in

ℝ

definiert)

wie ich dir oben schon notiert habe, suchst du damit hier nämlich die 3 Lösungen von

z^{3} = 2 + i

also

\to

z_{1} = 5^{\frac{1}{6}} \cdot [c o s

(8,855°)

+ i \cdot s i n

(8,855°)

]

z_{2} = .

z_{3} = .

.
.

damit du dir das mit den dritten (oder n-ten) Wurzeln an einfachen Beispielen klar machst
schlage ich dir zB vor, alle "dritten Wurzeln" aus 1 oder alle "vierten Wurzeln" aus

(- 1)

zu ermitteln.. usw..

ok?
.

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19:54 Uhr, 19.11.2020

Oh stimmt, da war ja was.

Wäre das dann die erste Lösung:

x 1 = 5^{\frac{1}{6}} \cdot e^{0.153 i}

Ich habe nun den Winkel arctan

(\frac{1}{2})

nochmal durch

180

geteilt und mit

π

multipliziert.

Ich verstehe nur nich so recht, wie ich auf die weiteren Lösungen kommen soll...

rundblick aktiv_icon

20:42 Uhr, 19.11.2020

z^{3} = 2 + i

\Rightarrow

z^{3} = \sqrt{5} \cdot e^{(0,46 + 2 k π) \cdot i} ...

. für

k \in ℤ

\Rightarrow

die drei Lösungen sind:

z_{k} = 5^{\frac{1}{6}} \cdot e^{(\frac{0,46}{3} + \frac{2 \cdot k π}{3}) \cdot i} . .

. für

k = 0,1,2

also:

z_{0} = 5^{\frac{1}{6}} \cdot e^{\frac{0,46}{3} \cdot i} = 5^{\frac{1}{6}} \cdot e^{0,153 \cdot i} \approx 1,292 + 1,20 \cdot i

z_{1} = 5^{\frac{1}{6}} \cdot e^{(\frac{0,46}{3} + \frac{2 π}{3}) \cdot i} = ...

z_{2} = 5^{\frac{1}{6}} \cdot e^{(\frac{0,46}{3} + \frac{4 π}{3}) \cdot i} = . .

.

die Winkel zu den drei Lösungen sind also: 8,855°

, (

8,855°

+

120°)

, (

8,855°

+

240°)

und die drei Lösungspunkte sind die drei Eckpunkte eines dem Kreis mit Radius

5^{\frac{1}{6}}

einbeschriebenem gleichseitigen Dreiecks , erster Eckpunkt in

z_{0}

,,usw..

ok?

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21:18 Uhr, 19.11.2020

Herzlichen Dank für diese umfangreiche Erklärung, sie hat mir sehr geholfen!! :-)
Ich habe das Prinzip nun verstanden, vielen Dank!

rundblick aktiv_icon

21:56 Uhr, 19.11.2020

.
"Ich habe das Prinzip nun verstanden, vielen Dank!"

freut mich .. also kannst du zB die vier Lösungen von

z^{4} = - 1

nun sofort problemlos notieren?
diese vier "vierten Wurzeln" von

(- 1)

sind die Eckpunkte eines Quadrates:

\to . .

.
.

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