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NIchtlineare DGl 2´ter Ordnung mit sinus

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

NEPH1L1M aktiv_icon

20:33 Uhr, 01.06.2014

Hallo es geht um die DGL

φ \overset{..}{}

K \cdot s i n (φ)

Ist aus einer Mechanik III Aufgabe, es geht hier, obwohl die DGL zunächst gleich ist nicht um eine Pendel!

Folgende Schritte sind weiter dazu aufgeführt:

φ \overset{..}{}

K \cdot s i n (φ)

Erweitern mit

φ \dot{}

φ \dot{}

\cdot φ \overset{..}{}

K \cdot s i n (φ) \cdot φ \dot{}

dann steht gleich das Ergebnis <<nach>> der Integration da

\frac{1}{2} \cdot (φ {\dot{)}}^{2}

- K \cdot c o s (φ) + C

Mir ist es nicht ganz klar wie man auf diese Gleichung kommt.

Also was ich bisher versucht habe ist:

φ \dot{}

\cdot φ \overset{..}{}

K \cdot s i n (φ) \cdot φ \dot{}

φ \dot{}

\cdot \frac{d}{d t} φ \dot{}

K \cdot s i n (φ) \cdot \frac{d}{d t} φ

\frac{d}{d t} (φ {\dot{)}}^{2}

K \cdot s i n (φ) \cdot \frac{d}{d t} φ

Jetzt

\frac{d}{d t}

kürzen ?

Gruß Neph

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

DrBoogie aktiv_icon

22:57 Uhr, 01.06.2014

"Jetzt d/dt kürzen"

Natürlich kann man hier nicht kürzen.

Ich schreibe keine Punkte, sondern Striche für Ableitungen, sonst wird unübersichtlich.

Der Übergang von

φ ʺ \cdot φ^{ʹ} = K \sin (φ) \cdot φ^{ʹ}

\frac{(φ^{ʹ})^{2}}{2} = - K \cos (φ) + C

ist einfach die Integration, auf beiden Seiten. Wenn Du es nicht siehst, kannst Du einfach beide Seiten von

\frac{(φ^{ʹ})^{2}}{2} = - K \cos (φ) + C

ableiten und Dich vergewissern, dass tatsächlich

φ ʺ \cdot φ^{ʹ} = K \sin (φ) φ^{ʹ}

rauskommt.

Mathe45

23:18 Uhr, 01.06.2014

φ^{. .} = K \cdot sin (φ)

| \cdot φ^{.}

φ^{.} \cdot φ^{. .} = K \cdot sin (φ) \cdot φ^{.}

Integral

\int φ^{.} \cdot φ^{. .} d φ = \int K \cdot sin (φ) \cdot φ^{.} d φ

\int φ^{.} \cdot φ^{. .} d φ = \frac{1}{2} \cdot {(φ^{.})}^{2}

weil

{[\frac{1}{2} \cdot {(φ^{.})}^{2}]}^{.} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot φ^{.} \cdot φ^{. .} = φ^{.} \cdot φ^{. .}

\int K \cdot sin (φ) \cdot φ^{.} d φ = - K \cdot cos (φ)

weil

{[- cos (φ)]}^{.} = sin (φ) \cdot φ^{.}

NEPH1L1M aktiv_icon

17:32 Uhr, 04.06.2014

Hallo Dr.Boogie und Mathe45,

danke an euch beide.

Ich hab´s auf der linken Seite echt nicht gesehen - total easy :-).

Viele Grüße

NEPH

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